Fermat1637's "prachtige bewijs" - een exegese

[Professor Puntje]

De Karel-rij met beginterm n_o is: K⁽⁰⁾(n_o), K⁽¹⁾(n_o), K⁽²⁾(n_o), K⁽³⁾(n_o), ...

Waarbij:

\( \mbox{K}(n) = \left \{ \begin{array}{rl} \frac{n}{2^m} & \mbox{voor n is even met m is maximaal voor } 2^m \mbox{ een deler van n.} \\ 3n+1 & \mbox{voor n is oneven.} \end{array} \right. \)


Definieer nu de bijbehorende V-rij V₀(n_o), V₁(n_o), V₂(n_o), V₃(n_o), ... door de relatie:

\( \mbox{V}_k(n_o) = \frac{ \mbox{K}^{(k)}(n_o) \, - \, 4}{6} \)


Dan geldt voor even natuurlijke n_o en even k dat:

\( \mbox{V}_{k+2}(n_o) = \frac{ \mbox{K}^{(k+2)}(n_o) \, - \, 4}{6} \)

\( \mbox{V}_{k+2}(n_o) = \frac{ ( 3 \cdot \frac{\mbox{K}^{(k)}(n_o)}{2^m} + 1 ) \, - \, 4}{6} \)

\( \mbox{V}_{k+2}(n_o) = \frac{ 3 \cdot \frac{\mbox{K}^{(k)}(n_o)}{2^m} \, - \, 3}{6} \)

\( \mbox{V}_{k+2}(n_o) = 3 \cdot \frac{ \frac{\mbox{K}^{(k)}(n_o)}{2^m} \, - \, 1}{6} \)

\( \mbox{V}_{k+2}(n_o) = \frac{3}{2^m} \cdot \frac{ \mbox{K}^{(k)}(n_o) \, - \, 2^m}{6} \)

\( \mbox{V}_{k+2}(n_o) = \frac{3}{2^m} \cdot \frac{ \mbox{K}^{(k)}(n_o) \, - \, 4 \, + \, 4 \, - \, 2^m}{6} \)

\( \mbox{V}_{k+2}(n_o) = \frac{3}{2^m} \cdot \left ( \frac{ \mbox{K}^{(k)}(n_o) \, - \, 4 }{6} \, + \, \frac{ 4 \, - \, 2^m}{6} \right ) \)

\( \mbox{V}_{k+2}(n_o) = \frac{3}{2^m} \cdot \left ( \mbox{V}_k(n_o) \, + \, \frac{ 4 \, - \, 2^m}{6} \right ) \)

\( \mbox{V}_{k+2}(n_o) = \frac{3}{2^m} \cdot \left ( \frac{ 6 \mbox{V}_k(n_o) \, + \, 4 \, - \, 2^m}{6} \right ) \)

\( \mbox{V}_{k+2}(n_o) = \frac{1}{2^m} \cdot \left ( \frac{ 6 \mbox{V}_k(n_o) \, - \, 2^m \, + \, 4 }{2} \right ) \)

\( \mbox{V}_{k+2}(n_o) = \frac{ 6 \mbox{V}_k(n_o) \, - \, 2^m \, + \, 4 }{2^{m+1}} \)

Met m is maximaal voor 2^m een deler van K^(k)(n_o).

[vijv]

Even nog dit voor we verder gaan:



Waaruit we zien dat Fermat1637 werkt met deze variant op de Collatz-rij:

\( \mbox{K}(n) = \left \{ \begin{array}{rl} \frac{n}{2^m} & \mbox{voor n is even met m is maximaal voor } 2^m \mbox{ een deler van n.} \\ 3n+1 & \mbox{voor n is oneven.} \end{array} \right. \)

Noem dit voor het gemak de Karel-rij. Dat is dus net iets anders dan de Syracuse-rij.

Waarom noem je dit de Karel rij, dit is toch gewoon Collatz?
Ik zou de rij bekomen door motief1 Karel rij noemen( Fermat duidt ze aan met v)

[Professor Puntje]

De definitie van de Collatz-rij werkt niet met een maximale m, daar is standaard m=1. Fermat1637's bewijs bevat al genoeg verwarring doordat er nagenoeg niets helder gedefinieerd is. Dat probeer ik gelijk van het begin af aan te vermijden door verschillende zaken ook verschillende namen te geven. Voor de Collatz-rij bijvoorbeeld is het niet altijd zo dat een even term steeds door een oneven term wordt opgevolgd en omgekeerd. Voor de Karel-rij is dat wel zo. De Karel-rij en de Collatz-rij hebben daarom deels verschillende eigenschappen. Als je ze toch allebei Collatz-rijen noemt is dat vragen om ongelukken. In een rationele reconstructie van Fermat1637's bewijs moeten we zulke fouten zo veel mogelijk vermijden.

Worden de V-getallen niet verkregen door onderstaande transformatie?

De Karel-rij met beginterm n_o is: K⁽⁰⁾(n_o), K⁽¹⁾(n_o), K⁽²⁾(n_o), K⁽³⁾(n_o), ...

Waarbij:

\( \mbox{K}(n) = \left \{ \begin{array}{rl} \frac{n}{2^m} & \mbox{voor n is even met m is maximaal voor } 2^m \mbox{ een deler van n.} \\ 3n+1 & \mbox{voor n is oneven.} \end{array} \right. \)


Definieer nu de bijbehorende V-rij V₀(n_o), V₁(n_o), V₂(n_o), V₃(n_o), ... door de relatie:

\( \mbox{V}_k(n_o) = \frac{ \mbox{K}^{(k)}(n_o) \, - \, 4}{6} \)

[Professor Puntje]

We zien ook dat \( \lim\limits_{k \rightarrow \infty} \mbox{K}^{(2k)}(2n) = 4 \) impliceert dat \( \lim\limits_{k \rightarrow \infty} \mbox{V}_{2k}(2n) = 0 \, . \) En omgekeerd.

[Professor Puntje]

Ik zou de rij bekomen door motief1 Karel rij noemen( Fermat duidt ze aan met v)

Hoe verkrijg je die V-rij door toepassing van motief1 dan? Hoe werkt dat precies?

[vijv]

neem een willekeurig getal deel dit door twee tot je een oneven getal a verkrijgt. Pas da de transformatie 6a+4 toe . En dan herhaaldelijk motief 1 toepassen.

[Professor Puntje]

neem een willekeurig getal

Een willekeurig getal n_o.

deel dit door twee tot je een oneven getal a verkrijgt.

\( a(n_o) = \frac{n_o}{2^m} \) voor m maximaal met \( 2^m \) een deler van n_o .

Pas dan de transformatie 6a+4 toe .

\( \mathcal{V}_{0}(n_o) = 6 a(n_o) + 4 \) .

En dan herhaaldelijk motief 1 toepassen.

\( \mathcal{V}_{k+1}(n_o) = \mbox{motief1}( \mathcal{V}_k(n_o) ) \)

Zo dan?

[vijv]

Klopt denk ik.

[Professor Puntje]

We hebben dit:

\( a(n_o) = \frac{n_o}{2^m} \) voor m maximaal met \( 2^m \) een deler van n_o .

\( \mathcal{V}_{0}(n_o) = 6 a(n_o) + 4 \)

\( \mathcal{V}_{k+1}(n_o) = \mbox{motief1}( \mathcal{V}_k(n_o) ) \)

Dit werkt alleen als het argument van motief1 steeds een viervoud of een oneven getal is. Dus zou ook \( \mathcal{V}_{0}(n_o) = 6 a(n_o) + 4 \) een viervoud of oneven getal moeten zijn. Maar oneven is dat in elk geval al niet. En een viervoud is het alleen als \( 6 a(n_o) \) een viervoud is. Maar dan zou \( a(n_o) \) een of meer priemfactoren 2 moeten bezitten, wat per definitie niet het geval is. Dus de \( \mathcal{V} \mbox{-rij} \) is op deze manier niet goed gedefinieerd.

[vijv]

We hebben dit:

\( a(n_o) = \frac{n_o}{2^m} \) voor m maximaal met \( 2^m \) een deler van n_o .

\( \mathcal{V}_{0}(n_o) = 6 a(n_o) + 4 \)

\( \mathcal{V}_{k+1}(n_o) = \mbox{motief1}( \mathcal{V}_k(n_o) ) \)

Dit werkt alleen als het argument van motief1 steeds een viervoud of een oneven getal is. Dus zou ook \( \mathcal{V}_{0}(n_o) = 6 a(n_o) + 4 \) een viervoud of oneven getal moeten zijn. Maar oneven is dat in elk geval al niet. En een viervoud is het alleen als \( 6 a(n_o) \) een viervoud is. Maar dan zou \( a(n_o) \) een of meer priemfactoren 2 moeten bezitten, wat per definitie niet het geval is. Dus de \( \mathcal{V} \mbox{-rij} \) is op deze manier niet goed gedefinieerd.

Motief 1 zorgt ervoor dat hetvolgende getal steeds een viervoud of oneven is. zie de afleiding van Evilbro

[Professor Puntje]

Volgens Fermat1637 is ook het domein van motief1 de verzameling der oneven getallen en viervouden. Om \( \mathcal{V}_1(n_o) \) te vinden moet je als argument \( \mathcal{V}_0(n_o) \) aan mortief1 voeren, daar gaat het dan fout. Tenzij ikzelf een fout maak. Zie mijn vorige berichtje.

[Professor Puntje]

Ik kom voor de V-rij met een beginterm n_o steeds hierop uit:

\( \mbox{V}_{k+1}(n_o) = \frac{6 \cdot \mbox{V}_k(n_o) - 2^m + 4 }{2^{m+1}} \)

Met m is maximaal voor 2^m een deler van 6.V_k(n_o) + 4 .

Is dat equivalent aan motief1 ? En kunnen de programmeurs hier ook even zien of dat klopt?

[Professor Puntje]

Aanvullend: ik werk alleen met even begintermen n_o.

[WillemB]

Even een snelle niet volledige check:
15 levert inderdaad ook de rij 23-35-53-80-60-45... op ,
voor mij nog steeds de vraag wat o.a 60 en 45 in deze rij doen, in de originele Collatz rij komen die niet voor.

Is wel makkelijker dan het motief(1) met apart oneven en 4 vouden formule, jouw formule lijkt het te doen voor beide.

Ik zal kijken of ik in excel nog iets kan zetten om beter te testen

[WillemB]

Met jouw formule kwam voor het begin 15 getal na 39 stappen uit op 0, hoogste m=5 , formule liep soepel.

terwijl normaal korte Collatz rij is 15 - 23 -35 -53- 8- -5 -1 ,dat is wel een stuk korter.

De motieven van Fermatxx zijn vrij lastig kwam soms zomaar in een loop, die ga ik nog een keer beter uit proberen.