Wat is energie?

[vijv]

Dit onderwerp is eigenlijk een volledige cursus op zich. Wat volgt is dus een vereenvoudigde uitleg, die het grote idee weergeeft zonder alle details.

Materie, zoals wij die kennen (atomen, deeltjes), is ontstaan ná de inflatie.
Tijdens de inflatie was het heelal gevuld met één bijzonder soort energieveld, het inflatonveld. Dit veld zorgde ervoor dat de ruimte extreem snel uit elkaar werd getrokken — veel sneller dan vandaag.
Je kan het potentiaal van het inflatonveld vergelijken met een bal die hoog op een heuvel ligt. Zolang de bal bijna niet beweegt, blijft de ruimte razendsnel uitdijen. Maar uiteindelijk begint de bal naar beneden te rollen, richting een dal.
Wanneer dat gebeurt, verandert de situatie drastisch: de energie die eerst verantwoordelijk was voor de snelle uitdijing komt plots vrij. Die energie wordt omgezet in straling (zoals licht en andere energierijke deeltjes).
Het heelal wordt daardoor opnieuw heet — vandaar de naam “reheating” (opnieuw opwarmen).
Terwijl het heelal daarna verder uitdijt en afkoelt, ontstaan uit die straling geleidelijk deeltjes, en veel later ook materie zoals protonen, elektronen en uiteindelijk atomen.
Met andere woorden: inflatie maakt het heelal leeg en uniform, reheating vult het opnieuw met energie, en uit die energie ontstaat later materie.

Ik denk dat dit een heel ander verhaal is dan jij voor ogen hebt.

[Regor]

@vijv,

Deze theorie is de reinste onzin !!!
Als U al die onzin gelooft !
Ik hoop dat U ze niet professioneel doorgeeft aan anderen !

[vijv]

Dit is momenteel wel het beste model dat de huidige waarnemingen van het universum verklaard. De andere modellen zijn even onzinnig en exotisch maar komen minder overeen met de waarnemingen. maar als jij een niet onzinnig model hebt dat de huidige waarnemingen verklaart laat het dan weten.

[wnvl1]

Formuleer de exacte vraag nog eens opnieuw. Het is mij niet duidelijk.

dat was hier geformuleerd:
viewtopic.php?p=1276586#p1276586
ik weet even niet hoe ik het nog duidelijke kan vertellen. Dus geef even aan wat voor jou daar dan onduidelijk aan is.

Ter aanvulling op wat Vincent reeds schreef.

In de AZE wordt de kromming van ruimtetijd niet alleen bepaald door de hoeveelheid energie, maar ook door de druk. Twee componenten met dezelfde energiedichtheid kunnen toch een totaal verschillend zwaartekrachtsgedrag vertonen, afhankelijk van hun druk.

donkere materie gedraagt zich in eerste benadering zoals gewone materie: ze heeft wel energie (of massa), maar vrijwel geen druk. Daardoor zorgt ze voor een aantrekkende zwaartekracht. Ze klontert samen onder invloed van die zwaartekracht en vormt halo’s rond sterrenstelsels. Dat is precies waarom ze gebruikt wordt om de rotatiecurves van sterrenstelsels te verklaren.

donkere energie daarentegen heeft een heel ander karakter. In de eenvoudigste modellen heeft ze een negatieve druk, ongeveer gelijk aan de negatieve van haar energiedichtheid. Dat leidt tot een totaal ander effect in de Einstein-vergelijkingen: in plaats van aantrekking krijg je een repulsief effect. Donkere energie zorgt er dus niet voor dat structuren samenklonteren, maar net dat de ruimte op grote schaal sneller uitdijt. Bovendien blijft ze homogeen verdeeld en vormt ze geen structuren zoals halo’s.

Het fundamentele verschil zit dus niet alleen in “hoeveel kromming” ze veroorzaken, maar in het soort kromming: donkere materie versterkt de lokale zwaartekracht en helpt structuren vormen, terwijl donkere energie een globale, afstotende bijdrage levert die de expansie van het heelal versnelt.

Dat verklaart meteen waarom vacuümenergie (die zich als donkere energie gedraagt) niet geschikt is om de rotatie van sterrenstelsels te verklaren: daarvoor heb je een component nodig die lokaal aantrekt en zich rond sterrenstelsels kan ophopen, en dat is precies wat donkere materie doet, maar donkere energie niet.

[HansH]

donkere energie daarentegen heeft een heel ander karakter. In de eenvoudigste modellen heeft ze een negatieve druk, ongeveer gelijk aan de negatieve van haar energiedichtheid. Dat leidt tot een totaal ander effect in de Einstein-vergelijkingen: in plaats van aantrekking krijg je een repulsief effect. Donkere energie zorgt er dus niet voor dat structuren samenklonteren, maar net dat de ruimte op grote schaal sneller uitdijt. Bovendien blijft ze homogeen verdeeld en vormt ze geen structuren zoals halo’s.

Dat verklaart meteen waarom vacuümenergie (die zich als donkere energie gedraagt) niet geschikt is om de rotatie van sterrenstelsels te verklaren: daarvoor heb je een component nodig die lokaal aantrekt en zich rond sterrenstelsels kan ophopen, en dat is precies wat donkere materie doet, maar donkere energie niet.

Ik kan dit niet volgen. Donkere energie zou dan een negatief teken moeten hebben. geen idee wat dan de oorsprong zou zijn van zulke negatieve donkere energie. Vacuum energie zou een positieve energie moeten hebben zou ik verwachten. het is immers die energie die gebruikt wordt om een deeltje + antideeltje te maken die beide positieve energie hebben. en energie kan niet uit het niets komen dus moet de vacuum energie wel positief zijn zou ik denken. en dus de ruimtetijd krommen net zoals massa dat doet.

[Regor]

Spijtig dat wij de visie van Flappelap niet mogen kennen, terwijl hij onlangs wel reageerde op "zwaartekracht".
En van 2up1down.

[wnvl1]

In de ART wordt de kromming van ruimtetijd bepaald door de stress-energietensor \(T_{\mu\nu}\), die zowel energiedichtheid als druk en energiestromen bevat. De Einstein-vergelijkingen koppelen deze tensor rechtstreeks aan de geometrie van de ruimtetijd via:

\[
G_{\mu\nu} = 8\pi G\, T_{\mu\nu}.
\]

Voor een perfecte vloeistof in het rustframe heeft de stress-energietensor de volgende volledige vorm:

\[
T^{\mu\nu} =
\begin{pmatrix}
\rho & 0 & 0 & 0 \\
0 & p & 0 & 0 \\
0 & 0 & p & 0 \\
0 & 0 & 0 & p
\end{pmatrix}.
\]

Hierin stelt \(T^{00} = \rho\) de energiedichtheid voor, terwijl de ruimtelijke diagonale componenten \(T^{11}, T^{22}, T^{33}\) de druk in de drie ruimtelijke richtingen voorstellen. De niet-diagonale componenten zijn nul in het ideale geval zonder viscositeit of energiestromen.

Donkere materie wordt in eerste benadering beschreven door een drukloze vloeistof, wat betekent dat \(p \approx 0\). De stress-energietensor reduceert dan effectief tot alleen een niet-nul tijdcomponent \(T^{00}\). Daardoor veroorzaakt donkere materie voornamelijk aantrekkende zwaartekracht, wat leidt tot het vormen van structuren zoals halo’s rond sterrenstelsels.

Donkere energie heeft daarentegen een fundamenteel ander karakter. In het geval van een kosmologische constante geldt dat de druk negatief is en gelijk aan de negatieve energiedichtheid, dus \(p = -\rho\). Hierdoor wordt de stress-energietensor proportioneel aan de metriek, wat kan geschreven worden als:

\[
T_{\mu\nu}^{(\Lambda)} = -\rho_{\Lambda} g_{\mu\nu}.
\]

Dit betekent dat niet alleen de tijdcomponent, maar ook de ruimtelijke componenten een negatieve bijdrage leveren. In de versnellingsvergelijking van het heelal verschijnt de combinatie \(\rho + 3p\), die voor donkere materie positief blijft maar voor donkere energie negatief wordt. Hierdoor ontstaat geen lokale clustering, maar een versnelde kosmische expansie.

Het fundamentele verschil zit dus niet alleen in de energiedichtheid, maar vooral in hoe de drukcomponenten van \(T_{\mu\nu}\) de geometrie van ruimtetijd beïnvloeden. Donkere materie beïnvloedt hoofdzakelijk \(T^{00}\) en veroorzaakt lokale gravitatieputten, terwijl donkere energie ook de ruimtelijke componenten domineert en zo de globale expansie van het heelal versnelt.

[vijv]

In de ART wordt de kromming van ruimtetijd bepaald door de stress-energietensor \(T_{\mu\nu}\), die zowel energiedichtheid als druk en energiestromen bevat. De Einstein-vergelijkingen koppelen deze tensor rechtstreeks aan de geometrie van de ruimtetijd via:

\[
G_{\mu\nu} = 8\pi G\, T_{\mu\nu}.
\]

Voor een perfecte vloeistof in het rustframe heeft de stress-energietensor de volgende volledige vorm:

\[
T^{\mu\nu} =
\begin{pmatrix}
\rho & 0 & 0 & 0 \\
0 & p & 0 & 0 \\
0 & 0 & p & 0 \\
0 & 0 & 0 & p
\end{pmatrix}.
\]

Hierin stelt \(T^{00} = \rho\) de energiedichtheid voor, terwijl de ruimtelijke diagonale componenten \(T^{11}, T^{22}, T^{33}\) de druk in de drie ruimtelijke richtingen voorstellen. De niet-diagonale componenten zijn nul in het ideale geval zonder viscositeit of energiestromen.

Interessant, nu zijn we via een omweg toch teruggekomen op een deel van de vraag van mij.
De Einsteinvergelijking zegt ongeveer het volgende: energiedichtheid, druk en energiestromen en impulsstromen (ik ga ze van hier met de verzamelnaam energiestromen aanduiden) bepalen de vorm van de ruimtetijd en de ruimtetijd bepaald de energiestromen. Dit is een dynamische vergelijking. Nu wordt de stress energietensor gedefinieerd door de translatiesymmetrie van de vier ruimtetijdcoördinaten via Noethers theorema. Hier zitten we met een soort cirkelredenering. We hebben coördinaten nodig voor de afleiding van de stress-energietensor en deze laatste bepaald dan weer hoe de coördinaten zich gedragen. Hier klopt toch iets niet?

[wnvl1]

Nu wordt de stress energietensor gedefinieerd door de translatiesymmetrie van de vier ruimtetijdcoördinaten via Noethers theorema. Hier zitten we met een soort cirkelredenering. We hebben coördinaten nodig voor de afleiding van de stress-energietensor en deze laatste bepaald dan weer hoe de coördinaten zich gedragen. Hier klopt toch iets niet?

De herkomst van de stress-energietensor in de ART is subtieler. Onderstaande (gegenereerd uit een gesprek met chatgpt) is belangrijk om goed te begrijpen voor het inzicht.

----------------------------

In vlakke ruimtetijd kan men via Noethers theorema de stress-energietensor afleiden uit globale translatie-symmetrieën: translatie in de tijd leidt tot behoud van energie en translatie in de ruimte tot behoud van impuls. Dit levert de zogenaamde canonische stress-energietensor op.

In een gekromde ruimtetijd werkt deze redenering echter niet meer rechtstreeks, omdat globale translatie-symmetrieën in het algemeen niet bestaan. Daarom wordt de stress-energietensor in de algemene relativiteitstheorie op een meer fundamentele manier gedefinieerd, namelijk via de materie-actie. Deze heeft de algemene vorm:

\[
S_{\text{materie}} = \int d^4x \, \sqrt{-g} \, \mathcal{L}_{\text{materie}}(\phi, \nabla_\mu \phi, g_{\mu\nu})
\]

Hierin is \(\mathcal{L}_{\text{materie}}\) de Lagrangedichtheid van de materievelden, en \(\sqrt{-g}\) zorgt ervoor dat de integraal invariant is onder coördinatentransformaties. De metriek \(g_{\mu\nu}\) komt zowel expliciet voor in de Lagrangiaan als impliciet via covariante afgeleiden.

De stress-energietensor wordt vervolgens gedefinieerd als de variatie van deze actie naar de metriek:

\[
T_{\mu\nu} = -\frac{2}{\sqrt{-g}} \frac{\delta S_{\text{materie}}}{\delta g^{\mu\nu}}
\]

Deze definitie heeft een duidelijke fysieke betekenis: de tensor beschrijft hoe de materie reageert op veranderingen in de geometrie van de ruimtetijd. Met andere woorden, hij geeft aan hoe energiedichtheid, druk en impulsstromen veranderen wanneer men de metriek lokaal varieert.

Om dit concreet te maken kan men kijken naar een reëel scalair veld. De materie-actie is dan:

\[
S = \int d^4x \, \sqrt{-g} \left(-\frac{1}{2} g^{\mu\nu} \partial_\mu \phi \, \partial_\nu \phi - V(\phi)\right)
\]

Bij variatie naar de metriek moet men rekening houden met twee bijdragen: de variatie van \(\sqrt{-g}\) en die van \(g^{\mu\nu}\) in de kinetische term. Daarbij gebruikt men onder andere:

\[
\delta \sqrt{-g} = -\frac{1}{2} \sqrt{-g} \, g_{\mu\nu} \, \delta g^{\mu\nu}
\]

Na het uitvoeren van de variatie en het verzamelen van termen vindt men:

\[
\delta S = -\frac{1}{2} \int d^4x \, \sqrt{-g} \, T_{\mu\nu} \, \delta g^{\mu\nu}
\]

waaruit direct volgt dat de stress-energietensor gegeven wordt door:

\[
T_{\mu\nu}
=
\partial_\mu \phi \partial_\nu \phi
- g_{\mu\nu} \mathcal{L}
\]

Door de Lagrangiaan expliciet in te vullen krijgt men:

\[
T_{\mu\nu}
=
\partial_\mu \phi \partial_\nu \phi
- g_{\mu\nu} \left[
\frac{1}{2} g^{\alpha\beta} \partial_\alpha \phi \partial_\beta \phi + V(\phi)
\right]
\]

Dit resultaat heeft een duidelijke fysische interpretatie: de component \(T_{00}\) komt overeen met de energiedichtheid, de componenten \(T_{0i}\) met energiestromen en impulsdichtheden, en \(T_{ij}\) beschrijven druk en spanningen.

Voor een homogeen veld reduceert dit tot:

\[
\rho = \frac{1}{2} \dot{\phi}^2 + V(\phi)
\quad,\quad
p = \frac{1}{2} \dot{\phi}^2 - V(\phi)
\]

Samengevat: in de algemene relativiteitstheorie wordt de stress-energietensor fundamenteel gedefinieerd via variatie van de materie-actie naar de metriek, waardoor hij onafhankelijk wordt van globale symmetrieën en consistent kan dienen als bronterm in de Einsteinvergelijkingen.

[HansH]

jouw gesprek met chatgpt geeft voor mij aan dat dat soort gesprekken zinloos zijn voor mensen die niet al alle details van de relativiteit weten. In ieder geval volledig zinloos voor mij. Zelfs de samenvatting is zo niet te volgen.

[wnvl1]

Dat begrijp ik, maar ik denk dat wat chatgpt zegt wel fundamenteel is. Ik heb gevraagd om het eenvoudiger samen te vatten hieronder, maar dan gaat er echt te veel verloren en zegt het niet veel meer. Het principe van Lagrange begrijpen is echt fundamenteel om iets voor inzicht in natuurkunde.


-------------
In de algemene relativiteitstheorie ligt dat anders. Daar is de ruimte zelf gekromd door de aanwezigheid van massa en energie. Daardoor is de situatie niet overal hetzelfde, en kan men energie en impuls niet meer simpel afleiden uit globale symmetrieën.

In plaats daarvan wordt de stress-energietensor op een andere manier geïntroduceerd binnen het Lagrangeformalisme. Men beschrijft materie met een Lagrangedichtheid en kijkt vervolgens hoe deze beschrijving verandert wanneer de geometrie van de ruimtetijd een kleine verandering ondergaat.

De centrale idee is dat de stress-energietensor beschrijft hoe materie reageert op veranderingen in de ruimtetijd zelf. Het geeft dus aan hoe sterk energie, impuls en druk aanwezig zijn en hoe deze zich door de ruimte verplaatsen.

In fysische termen bevat de stress-energietensor informatie over:
- de energiedichtheid op een punt,
- de stroming van energie en impuls,
- en de druk of spanningen in materie.

In het Lagrangeformalisme is de stress-energietensor dus geen los toegevoegd object, maar een grootheid die automatisch volgt uit de beschrijving van materie in een gekromde ruimtetijd.

Samengevat kan men zeggen:

Het Lagrangeformalisme beschrijft hoe materie zich gedraagt.
De stress-energietensor beschrijft hoe die materie de ruimtetijd beïnvloedt.

In de algemene relativiteitstheorie is dit precies de koppeling die bepaalt hoe materie en zwaartekracht elkaar beïnvloeden.

[vijv]

Enkele opmerkingen en verfijningen:

In vlakke ruimtetijd kan men via Noethers theorema de stress-energietensor afleiden uit globale translatie-symmetrieën: translatie in de tijd leidt tot behoud van energie en translatie in de ruimte tot behoud van impuls. Dit levert de zogenaamde canonische stress-energietensor op.

Het komt er op neer dat hier een niet veranderende metriek wordt verondersteld, kort door de bocht de ruimte is een vasstaand gegeven. Dit is bijv zo bij Newton en quantumtheorie en ik geloof zelfs bij de RST (maar hier ben ik niet zeker). Bij ART is dit niet zo, vandaar mijn probleem dat we de stress-energie tensor niet kunnen afleiden via translatiesymmetrieën (verschuiving in de tijd en verschuiving in de drie richtingen)

. Daarom wordt de stress-energietensor in de algemene relativiteitstheorie op een meer fundamentele manier gedefinieerd, namelijk via de materie-actie. Deze heeft de algemene vorm:

\[
S_{\text{materie}} = \int d^4x \, \sqrt{-g} \, \mathcal{L}_{\text{materie}}(\phi, \nabla_\mu \phi, g_{\mu\nu})
\]

Hierin is \(\mathcal{L}_{\text{materie}}\) de Lagrangedichtheid van de materievelden, en \(\sqrt{-g}\) zorgt ervoor dat de integraal invariant is onder coördinatentransformaties. De metriek \(g_{\mu\nu}\) komt zowel expliciet voor in de Lagrangiaan als impliciet via covariante afgeleiden.

Wat er hier gebeurd is dat we actie S (integraal van de Lagrangian) coördinatenonafhankelijk maken of ook wel covariant genoemd. Dit doen we door van de lagrangian een tensorvergelijking te maken. Omdat het volume element \(d^4x\) coördinaatafhankelijk is moeten we dit vermenigvuldigen met \(\sqrt{-g}\). In plaats van gewone afgeleiden te gebruiken in de Lagrangian, moeten we covariante afgeleiden gebruiken \(\nabla_{\mu}\phi\)

De stress-energietensor wordt vervolgens gedefinieerd als de variatie van deze actie naar de metriek:

\(T_{\mu\nu} = -\frac{2}{\sqrt{-g}} \frac{\delta S_{\text{materie}}}{\delta g^{\mu\nu}} \)

Deze definitie heeft een duidelijke fysieke betekenis: de tensor beschrijft hoe de materie reageert op veranderingen in de geometrie van de ruimtetijd. Met andere woorden, hij geeft aan hoe energiedichtheid, druk en impulsstromen veranderen wanneer men de metriek lokaal varieert.

De bovenstaande vergelijking definieert inderdaad een tensor die we \(T_{\mu\nu}\) noemen. Er is allen nog niet bewezen dat dit overeenstemt met het concept van stress energie tensor in de klassieke theorie. We moeten dus aan tonen dat \(T_{\mu\nu}\) een behouden stroom is. (4 stromen in t, x,y en z richting) en dus overeenkomt met onze begrippen energie en impuls.
Dit gebeurd door diffeomorfisme‑invariantie van toe te passen. diffeomorfisme \( x_{\mu}⟶x′_{\mu}(x) \)wil zeggen dat we coördinaten herlabellen zonder dat er fysisch iets verandert. Hieruit kunnen we afleiden dat \(\nabla_{\mu}​T_{\mu\nu}\)=0

Wat betekent dit in lekentaal?

In de vlakke ruimte (klassiek newton, QT) is er een globale translatiesymmetrie. Dit wil zeggen als we onze coördinaten in zijn geheel een klein beetje opschuiven (passieve coördinatentransformatie) of we nemen heel het universum vast en verschuiven dit een beetje tov de coördinaten (actieve coördinatentransformatie) de natuurwetten niet veranderen. Dit noemen we een symmetrie. Theorema van Noether zegt nu da bij zo een (continue) symmetrie er behouden stromen kunnen worden afgeleid. Bij de translatiesymmetrie kunnen we zo vier stromen afleiden (1 in elke richting). De energiedichtheid (stroom in richting van de tijd) en impulsstroom in de drie ruimtelijke richtingen. Bij behouden stromen horen ook behouden grootheden, energie en impuls. Deze laatste bestaan maar als we globale symmetrie hebben omdat we dan kunnen integreren over een afgesloten volume.
In gekromde ruimtes is de situatie anders. Hier kunnen we geen globale translaties definiëren wegens de kromming. We kunnen Noether niet toepassen. Maar we kunnen hier rond werken door een nieuwe globale transformatie te gebruiken : diffeomorfisme.
Dit wil zeggen dat we coördinaten kunnen herlabellen zonder dat er fysisch iets verandert. Een continue symmetrie dus. daardoor kunnen we Noether toepassen en krijgen we terug behouden stromen. Als we hiervan de limiet nemen naar de vlakke ruimte blijken we terug uit te komen op onze klassieke stress energietensor. Dit geeft ons dan de zekerheid dat het diffeomorfisme invariantie inderdaad de stress energietensor oplevert.
Wat met behouden grootheden? In gekromde ruimte kunnen we niet zomaar integreren en zijn er dan ook geen behouden grootheden. dit wil zeggen dat we niet kunnen spreken over de totale energie van het heelal.

[wnvl1]

De bovenstaande vergelijking definieert inderdaad een tensor die we \(T_{\mu\nu}\) noemen. Er is allen nog niet bewezen dat dit overeenstemt met het concept van stress energie tensor in de klassieke theorie. We moeten dus aan tonen dat \(T_{\mu\nu}\) een behouden stroom is. (4 stromen in t, x,y en z richting) en dus overeenkomt met onze begrippen energie en impuls.
Dit gebeurd door diffeomorfisme‑invariantie van toe te passen. diffeomorfisme \( x_{\mu}⟶x′_{\mu}(x) \)wil zeggen dat we coördinaten herlabellen zonder dat er fysisch iets verandert. Hieruit kunnen we afleiden dat \(\nabla_{\mu}​T_{\mu\nu}\)=0

Meer uitgewerkt voor de geïnteresseerden...

----------

Een elegante manier om te begrijpen waarom de stress-energietensor een behoudswet voldoet in de algemene relativiteit, is via diffeomorfisme-invariantie.

In vlakke ruimtetijd volgt behoud van energie en impuls uit translatiesymmetrie via het theorema van Noether. In gekromde ruimtetijd bestaan zulke globale translaties echter niet meer. In plaats daarvan is de relevante symmetrie de invariantie onder willekeurige coördinatentransformaties (diffeomorfismen). Deze symmetrie blijkt voldoende om een lokale behoudswet af te leiden.

We starten met de materie-actie:
\[
S_{\text{materie}} = \int d^4x \,\sqrt{-g}\,\mathcal{L}_{\text{materie}}.
\]

De stress-energietensor wordt gedefinieerd als de variatie van deze actie naar de metriek:
\[
T^{\mu\nu} = \frac{2}{\sqrt{-g}} \frac{\delta S_{\text{materie}}}{\delta g_{\mu\nu}}.
\]

Beschouw nu een infinitesimale diffeomorfisme:
\[
x^\mu \to x^\mu + \xi^\mu(x),
\]
waarbij \( \xi^\mu(x) \) een willekeurig vectorveld is. De metriek varieert dan als:
\[
\delta g_{\mu\nu} = \nabla_\mu \xi_\nu + \nabla_\nu \xi_\mu.
\]

Omdat de theorie invariant is onder zulke transformaties, geldt:
\[
\delta S_{\text{materie}} = 0.
\]

De variatie van de actie door de metriekverandering is:
\[
\delta S_{\text{materie}}
= \frac{1}{2} \int d^4x \,\sqrt{-g}\, T^{\mu\nu} \,\delta g_{\mu\nu}.
\]

Invullen geeft:
\[
\delta S_{\text{materie}}
= \int d^4x \,\sqrt{-g}\, T^{\mu\nu} \nabla_\mu \xi_\nu.
\]

Na partieel integreren (en het verwaarlozen van randtermen) volgt:
\[
\delta S_{\text{materie}}
= - \int d^4x \,\sqrt{-g}\, (\nabla_\mu T^{\mu\nu}) \,\xi_\nu.
\]

Aangezien \( \xi^\nu(x) \) willekeurig is en \( \delta S_{\text{materie}} = 0 \), moet noodzakelijk gelden:
\[
\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0.
\]

Dit is de lokale behoudswet voor energie en impuls in gekromde ruimtetijd. In vlakke ruimtetijd reduceert dit tot:
\[
\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0,
\]
wat overeenkomt met de bekende globale behoudswetten.

[HansH]

Ik zie eigenlijk niet zo goed wat al die discussies over dat behoud van energie in de ART iets anders werkt dan in het dagelijks leven toevoegt aan het begrip wat energie is. klinkt me meer in de oren als moeilijk doen omdat het moeilijk kan.

[wnvl1]

Als je het wil hebben over energie in context van Newtoniaanse mechanica is deze uitweiding niet mogelijk. Mocht je toch geïnteresserd zijn in energie en ART, hier nog een mooie uitwerking.
-----------------------
In tegenstelling tot de klassieke mechanica en de speciale relativiteit is het in een algemeen gekromde ruimtetijd niet vanzelfsprekend dat er een globale, behouden energie bestaat.

Het vertrekpunt is de lokale behoudswet voor energie en impuls, die volgt uit Noethers theorema toegepast op diffeomorfisme-invariantie. Deze luidt:
\[
\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0
\]
Dit betekent dat energie en impuls lokaal behouden zijn: in een infinitesimaal stukje ruimtetijd is er geen creatie of vernietiging van energie.

Het cruciale verschil met vlakke ruimtetijd zit in het gebruik van de covariante afgeleide \(\nabla_\mu\) in plaats van de gewone afgeleide \(\partial_\mu\). Door de aanwezigheid van Christoffel-symbolen bevat deze afgeleide extra termen die de kromming en dynamiek van de ruimtetijd coderen. Daardoor kan men deze vergelijking in het algemeen niet herschrijven als een globale behoudswet voor een totale energie.

Dit wordt concreet zichtbaar in het geval van een homogeen en isotroop uitdijend heelal, beschreven door de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker metriek. Indien men de materie-inhoud modelleert als een perfecte vloeistof met energiedichtheid \(\rho\) en druk \(p\), dan leidt de tijdcomponent van de behoudswet tot:
\[
\dot{\rho} + 3H(\rho + p) = 0
\]
waar \(H = \dot{a}/a\) de Hubble-parameter is en \(a(t)\) de schaalfactor van het heelal.

Deze vergelijking kan herschreven worden als:
\[
\frac{d}{dt}(\rho a^3) = -p \frac{d}{dt}(a^3)
\]
Dit is formeel analoog aan de thermodynamische relatie
\[
dE = -p\, dV
\]
waarbij \(E = \rho V\) en \(V \propto a^3\). De interpretatie is dat de energie in een comovende volume-eenheid verandert doordat de druk arbeid verricht tijdens de expansie van het heelal.

Voor straling, waarvoor \(p = \frac{1}{3}\rho\), volgt:
\[
\dot{\rho} + 4H\rho = 0
\quad \Rightarrow \quad
\rho \propto a^{-4}
\]
De extra factor \(a^{-1}\) ten opzichte van materie (\(\rho \propto a^{-3}\)) komt overeen met de kosmologische roodverschuiving: de energie van individuele fotonen neemt af naarmate het heelal uitdijt.

Dit leidt tot de ogenschijnlijk paradoxale vraag: waar gaat die energie naartoe? Het antwoord binnen de algemene relativiteit is dat deze vraag in het algemeen niet goed gedefinieerd is. Omdat de ruimtetijd geen globale tijdtranslatiesymmetrie bezit, bestaat er geen eenduidige definitie van totale energie waarop een globale behoudswet van toepassing zou zijn.

De extra term \(3H(\rho + p)\) in de behoudsvergelijking is rechtstreeks terug te voeren op de Christoffel-symbolen in de covariante afgeleide:
\[
\nabla_\mu T^{\mu 0}
=
\partial_\mu T^{\mu 0}
+ \Gamma^\mu_{\mu\lambda} T^{\lambda 0}
+ \Gamma^0_{\mu\lambda} T^{\mu\lambda}
\]
Deze termen beschrijven hoe de geometrie van de ruimtetijd zelf bijdraagt aan de verandering van de energiedichtheid.

Samenvattend kan men stellen dat energie in de algemene relativiteit geen globaal behouden grootheid is, maar een lokaal gedefinieerd concept dat consistent wordt getransporteerd volgens \(\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0\). In dynamische ruimtetijden, zoals een uitdijend heelal, verliest het idee van een totale, behouden energie zijn betekenis.