🕵️ De grote raadseltopic

[Rov]

Ik heb de uitwerking niet bij de hand, maar je kan dacht ik, het best met gelijkvormige driehoeken werken.

[Koen007]

Een variatie op raadsel 40 (aantal kortste wegen in die 3x3 kubus) zou kunnen zijn hoeveel stukjes de langste weg bevat om van de oorsprong naar het eindpunt te gaan. Alles is toegelaten, behalve twee keer over een zelfde recht stukje lopen (dus op een zelfde hoekpunt voorbijkomen is wel toegestaan, zolang je maar een andere afslag neemt).

- Voor een kubus van 1x1 is de langste weg volgens mij 7 rechte stukjes.

- Voor een kubus van 2x2 is de langste weg al zeker meer dan 30...

Zou je daar een algemene formule kunnen voor opstellen?

[Koen007]

Betreft mijn voorgaande voorstel voor een nieuw raadsel:

"Zoek een algemene formule waarmee je de langste weg kan vinden om in een nxnxn kubus te stappen in stapjes van lengte 1 van punt (0,0,0) naar punt (n,n,n) zonder twee maal hetzelfde rechte stukje te gebruiken."

Persoonlijk heb ik de indruk dat ik hier iets gevraagd heb wat misschien iets te moeilijk is om als raadsel bestempeld te worden. Indien dit zo is wil ik hiermee zeker dit raadselonderwerp niet blokkeren en mogen er gerust nieuwe voorstellen gedaan worden zonder het antwoord op dit te kennen.

Toch blijft dit probleem mij nu al meer dan een week bezighouden en zie ik steeds meer in dat dit echt geen simpel ding is.

Hoe start je nu aan zo een probleem? Ik weet niet of er hier mensen echt op zoek zijn en indien ja, dan hoor ik graag jullie methode.

Bij mij komt het er op aan dat ik zelf, manueel, zonder formule, de langste weg probeer te vinden voor een 1x1x1 kubus, daarna voor een 2x2x2 kubus, ... Daarna probeer ik er een formule op te plakken die me voor de overeenkomstige n waarde het juiste aantal geeft. Een weinig efficiënte methode daar ze een zeer hoog try and error gehalte heeft.

Het probleem is ook dat het al moeilijk wordt om zelf met de hand uit te zoeken wat de langste weg is in een 2x2x2 kubus, laat staan in een 3x3x3 kubus.

Tegenwoordig probeer ik me te oefenen in de tweedimensionale versie. Stappen in vlakjes van nxn hiermee hopende een analoge driedimensionele formule te vinden.

Edit: Ondertussen al gevonden dat de langste weg in een nxn vierkant (2 dimensionaal) gelijk is aan 2n²

Misschien dat als je de getallen hebt, gevonden door de brute rekenkracht van een programma, dat het misschien gemakkelijker te doen is, alhoewel het try and error blijft.

Hoe zoek je trouwens een algoritme die je de langste weg zou kunnen geven?

Je ziet, ik ben er nu al meer dan een week mee bezig en lig er al af en toe van wakker. Misschien ben ik de enige zot die zich hier mee bezig houdt maar ik geef me nu eenmaal niet snel gewonnen met zulke schijnbaar eenvoudige levensvragen.

[Koen007]

Ik denk het antwoord gevonden te hebben.

Mijn redenering:

Vermits we hier in een driedimensionale wereld bewegen zal de langste weg

een derdegraadsfunctie zijn van de vorm:

y(x)=ax³+bx²+cx+d

Punten die er op liggen zijn:

- (0,0)

- (1,7)

- (2,n2) waarbij n2 kan variëren tussen 34 (=reeds zelf gevonden) en 54

(=maximale waarde)

- (3,n3) waarbij n3 kan variëren tussen 94 (=reeds zelf gevonden) en

144(=maximale waarde)

d is dus al gelijk aan 0 vermits punt (0,0) er deel van uit maakt.

De functie is dan nog:

y(x)=ax³+bx²+cx

De functie voor de maximale weg (=som van alle ribben) te vinden is:

3x(x+1)²=3x³+6x²+3x (reken maar eens na)

Als je de verhouding (langst mogelijke weg)/(maximale weg) bekijkt, namelijk:

(ax³+bx²+cx)/(3x³+6x²+3x)

Dan kan je toch zeggen dat deze naar 1 zal gaan als x naar oneindig gaat.

Immers zal het toch steeds gemakkelijker zijn om in de kubus rond te lopen

zonder op een reeds gebruikte ribbe te komen. Je zal verhoudingsgewijs

steeds meer ribben kunnen gaan benutten.

Als de limiet naar 1 gaat als x naar oneindig gaat wil dat zeggen dat a

gelijk is aan 3.

Als je dan weet dat (1,7) zeker op de kurve zit en a,b en c volgens mij

gehele getallen moeten zijn dan kan je wat spelen met mogelijke waarden

van n2 (laten variëren van 34 tot 54). Dit levert je 11 mogelijke

combinaties op voor b en c.

Als je dit dan ook eens doet voor n10 (kubus van 10x10x10) dan zie je dat

enkel de oplossing b=c=2 gemeenschappelijk is aan de reeds 11 gevonden

mogelijke combinaties.

De formule is dus volgens mij gelijk aan:

y(x)=3x³+2x²+2x

Ziet er iemand gaten in mijn redenering?

Dit impliceert dat de langste weg in een 2x2x2 kubus gelijk is aan 36, dus nog twee meer dan wat ik tot nu toe zelf gevonden had. Ik ben dus mijn formule aan het testen op waarheid en probeer dus in 36 stapjes van (0,0) te gaan naar (2,2). Pas dan zal ik op mijn beide oren kunnen slapen.

[Math]

Raadsel 44

Je moet de code zien te kraken. Blauwe stip is juiste cijfer op juiste plaats, rode stip is juiste cijfer, verkeerde plaats.

De cijfers 1 tot en met 9 mochten gebruikt worden en herhaling van cijfers is toegestaan.

[Hoogvlieger]

Geen enkele mastermind hier die hem kan oplossen? Mij lukt het in ieder geval niet.

[EvilBro]

832771

[rodeo.be]

Raadsel 45

Leg 6 balkvormige staven op een manier zodat elke staaf elke andere staaf raakt.

[Brinx]

[Edit Veertje: formaat aangepast. Klik op het plaatje voor vergroting.]

Deze manier is er een:



de staven zijn dus gegroepeerd in twee lagen. In elke laag zijn twee staven met de hoekpunten tegen elkaar gelegd en is er een derde staaf tussen geschoven zodanig dat die raakt aan beide andere. De twee lagen zijn op elkaar geplaatst zodat elke staaf in iedere laag raakt aan elke staaf in de andere laag. Elke staaf raakt zo aan alle vijf andere staven. Natuurlijk zijn er variaties hierop mogelijk door de staven te verschuiven terwijl ze elkaar blijven raken. Weet iemand nog een fundamenteel andere oplossing?

(Ik heb dit plaatje trouwens in 'Blender' gemaakt: kent iemand dat? Een volledig gratis 3D-modelleringsprogramma, ideaal voor onder andere dit soort gespeel. Het plaatje was binnen een minuut klaar)

[PeterPan]

Het plaatje was binnen een minuut klaar

Jokkebrok

[Veertje]

Het plaatje was binnen een minuut klaar

Jokkebrok

Nou..... ik geloof het wel. Als je goed kijkt lijkt het dan ook alsof de middelste balk en linker balk van de toplaag de rechter balk van de laag eronder niet raakt. De schaduwen kloppen niet. Maar de bedoeling is iig duidelijk.

[Jabs]

Een spelletje:

Je gooit een muntje op. Bij kop krijg je een muntje erbij. Bij munt moet je een muntje inleveren. Hiermee ga je door totdat al je muntjes op zijn of totdat je het gewenst aantal muntjes n bereikt.

Je begint met 1 muntje.

Wat is de kans dat het je lukt om bij de n muntjes te komen voordat je muntjes op zijn?

Hint: Er is een mooie recursieve oplossing voor

[EvilBro]

Wat is de kans dat het je lukt om bij de n muntjes te komen voordat je muntjes op zijn?

Gevraagd wordt dus de kans \(P_{1 \rightarrow n}\). Belangrijk is het om te realiseren wat deze kans betekent. Het is de kans om voor de eerste keer op het aantal n muntjes te komen zonder daarbij 0 muntjes gehad te hebben. Deze kans kunnen we relateren aan de kans \(P_{1 \rightarrow (n-1)}\):

\(P_{1 \rightarrow n} = P_{1 \rightarrow (n-1)} \cdot P_{(n-1) \rightarrow n}\)

Let op! De kans \(P_{(n-1) \rightarrow n}\) is niet een half. Het gaat om alle mogelijke paden van n-1 muntjes naar n muntjes.

Er zijn twee mogelijke stop punten: 0 en n. Als je dus niet stopt in n dan moet je stoppen in 0. Er geldt dan:

\(P_{(n-1) \rightarrow n} = 1 - P_{(n-1) \rightarrow 0}\)

dus:

\(P_{1 \rightarrow n} = P_{1 \rightarrow (n-1)} \cdot (1 - P_{(n-1) \rightarrow 0})\)

Vanwege symmetrie in de situatie moet de kans om van (n-k) muntjes naar 0 muntjes te komen gelijk zijn aan de kans om van k muntjes naar n muntjes te komen.

\(P_{1 \rightarrow n} = P_{1 \rightarrow (n-1)} \cdot (1 - P_{1 \rightarrow n}) \rightarrow P_{1 \rightarrow n} = \frac{P_{1 \rightarrow (n-1)}}{1 + P_{1 \rightarrow (n-1)}}\)

Na wat waarden ingevuld te hebben ontstaat het vermoeden dat:

\(P_{1 \rightarrow n} = \frac{1}{n}\)

Als je dit controleert met het bovenstaande verband dan blijkt dit inderdaad zo te zijn.

[Jabs]

Props EvilBro.

Kun je het ook als de kans op kop niet 1/2 is?

(Ik zo niet, maar ben wel benieuwd.)

[EvilBro]

Kun je het ook als de kans op kop niet 1/2 is?

Ik denk dat dat dit is:

\(P_{1 \rightarrow (n+1)} = \frac{p^n}{\sum_{k=0}^n p^k (1-p)^{n-k}}\)

Dit antwoord heb ik echter gevonden door de regelmaat te herkennen in de eerste 5 oplossingen en het enkel gecontroleerd met de 6e en 7e oplossing (klopte wel ). Misschien dat iemand hier voor de relatie nog een mooi bewijs kan leveren.