[wiskunde] integralen / integreren

[TD]

\(\int {\frac{{\sin \left( {2x} \right)}}{{\left( {2 + \sin x} \right)^2 }}dx} = \int {\frac{{2\sin x\cos x}}{{\left( {2 + \sin x} \right)^2 }}dx} \to y = \sin t \Rightarrow dy = \cos tdt \to \int {\frac{{2t}}{{\left( {2 + t} \right)^2 }}dt} \)

\(\int {\frac{{2t}}{{\left( {2 + t} \right)^2 }}dt} = 2\ln \left| {t + 2} \right| + \frac{4}{{t + 2}} + C \to 2\ln \left| {\sin x + 2} \right| + \frac{4}{{\sin x + 2}} + C\)

[Cleopatra]

ik vond niet meteen hoe men de volgende integraal berekent:

\(\int\frac{1}{1-(\sinx)^4}dx\)

heb vanalles geprobeerd maar het wilt maar niet uitkomen: halveringsformules, hoofdeigenschap... ik blijf steeds vast zitten....

dank u

[TD]

Je kan natuurlijk altijd via t-formules overgaan op een rationale functie, maar dan krijg je hier aardig hoge machten.

Het zal eleganter gaan door slim toepassen van goniometrie, maar het vereist wel wat meer inzicht. Ik herschrijf de breuk:

\(\frac{1}{{1 - \sin ^4 x}} = \frac{{\cos ^2 x + \sin ^2 x}}{{\left( {1 - \sin ^2 x} \right)\left( {1 + \sin ^2 x} \right)}} = \frac{{\cos ^2 x + \sin ^2 x + 1 - 1}}{{\cos ^2 x\left( {1 + \sin ^2 x} \right)}} = \frac{1}{{1 + \sin ^2 x}} + \frac{1}{{\cos ^2 x}} - \frac{1}{{\cos ^2 x\left( {1 + \sin ^2 x} \right)}}\)

Die laatste breuk is nu precies terug de opgave (volg je dat?), dus naar het andere lid brengen en delen door twee levert dat:

\(\frac{1}{{1 - \sin ^4 x}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{1 + \sin ^2 x}} + \frac{1}{{\cos ^2 x}}} \right)\)

De laatste breuk is al eenvoudig, daarvan is de primitieve precies tan(x).

We zullen nog wat spelen met die eerste.

\(\frac{1}{{1 + \sin ^2 x}} = \frac{{\frac{1}{{\cos ^2 x}}}}{{\frac{{1 + \sin ^2 x}}{{\cos ^2 x}}}} = \frac{{\frac{1}{{\cos ^2 x}}}}{{\frac{{\cos ^2 x + 2\sin ^2 x}}{{\cos ^2 x}}}} = \frac{{\frac{1}{{\cos ^2 x}}}}{{1 +2 \tan ^2 x}}\)

Maar die teller is precies de afgeleide van tan(x), zodat substitutie levert:

\(\int {\frac{{\frac{1}{{\cos ^2 x}}}}{{1 + 2\tan ^2 x}}dx} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\int {\frac{1}{{1 + \left( {\sqrt 2 \tan x} \right)^2 }}d\left( {\sqrt 2 \tan x} \right)} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\arctan \left( {\sqrt 2 \tan x} \right) + C\)

Dan rapen we alles samen:

\(\int {\frac{1}{{1 - \sin ^4 x}}dx} = \frac{1}{2}\int {\left( {\frac{1}{{1 + \sin ^2 x}} + \frac{1}{{\cos ^2 x}}} \right)dx} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\arctan \left( {\sqrt 2 \tan x} \right) + \tan x} \right) + C\)

En dat lijkt me een vrij elegante oplossing.

[Cleopatra]

amai, mooie oefening, zou ik nooit zelf op gekomen zijn denk ik!! bedankt 8)

[TD]

Inderdaad een leuke opgave, het vinden van een mooie oplossing kan soms lang duren, of toevallig snel gaan

Hoe meer opgaven je maakt en inzicht verwerft, hoe sneller dat gaat.

[Rov]

Gegeven is dat:

\( \int^{+\infty}_{-\infty} f(x)dx = 1\)

met

\(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma}} \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\)

.

Nu moet ik bewijzen dat

\( \int^{+\infty}_{-\infty} xf(x)dx= \mu\)

.

Ik ben al eens begonnen met partiële integratie, en ook al eens met substitutie... maar dat lijkt naar een dood einde te lopen. Kan iemand me op het juiste spoor zetten?

[TD]

Verschuif de opgave via een substitutie zodat f een even functie wordt.

\(\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {xf\left( x \right)dx} \to x = y + \mu \Rightarrow dx = dy \to \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\left( {y + \mu } \right)f\left( {y + \mu } \right)dy} = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {yf\left( {y + \mu } \right)dy} + \mu \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {f\left( {y + \mu } \right)d\left( {y + \mu } \right)} \)

Kom je er zo aan uit of moet er uitleg bij?

[Rov]

Doe toch maar de uitleg als het gaat . Wat je nu doet heb ik nog nooit gezien... (Zal pas morgen zijn dat ik het lees.)

[TD]

Gewoon een substitutie hoor, lineair zelfs. Maar zodanig dat f een even functie wordt. Nog?

[Rov]

Ik snap wel wat je doet, maar daar stopt het. Mijn vragen hierbij zijn:

Waarom neem je juist die substitie?

Hoe werk je dit verder uit, want ik zie niet direct dat dit dichter bij de oplossing komt!?

Ik ken alleen de "normale" substitutie, of is de normale substitutie "lineaire" substitutie?

[TD]

Deze substitutie is absoluut niet abnormaal hoor... Ik gebruik deze omdat f dan een even functie wordt, de x-mu wordt immers gewoon y, dus y² in de e-macht.

Door de even functie te vermenigvuldigen met een oneven functie (y) krijg je een oneven functie. Dit is 0 als je deze over een symmetrische interval integreert, de eerste integraal in m'n laatste lid is dus 0. De tweede integraal is precies 1, dat is gegeven, maar er staat een factor mu voor, vandaar mu.

[Rov]

Ah ja! Nu zie ik het. Door al die onbekenden was ik zo gefocused op die substitutie dat ik vergat dat er ook nog een mu in de e-macht zit.

Alleen hoe je die integraal opsplitst zie ik niet...

[TD]

Er was een factor x, nu y+mu: deze werk ik uit; een integraal met y (die het geheel oneven maakt) en een integraal met een voorfactor mu.

[Rov]

Ok, maar waarom mag je in het tweede lid dy vervangen door d(y+mu)?

[TD]

Omdat mu een constante is.