Dit is een nog onvolledige klad versie die mogelijk nog fouten bevat. Maar aan het eind heb ik in elk geval hulp nodig. Zie daar.
Laat
\( \mathbf{e_j} = \left ( \frac{\partial}{\partial x^j} \right )_p \) een door de kaartafbeelding
\( \varphi \) gegenereerde basis van de raakruimte
\( V_p \) aan het punt p van de differentieerbare manifold
\( \mathcal{M} \) zijn. Laat daarnaast ook
\( \mathbf{e'_{j'}} = \left ( \frac{\partial}{\partial x'^{j'}} \right )_p \) een door een (andere) kaartafbeelding
\( \varphi' \) gegenereerde basis van dezelfde raakruimte
\( V_p \) aan het hetzelfde punt p van dezelfde differentieerbare manifold
\( \mathcal{M} \) zijn.
Alle elementen
\( \mathbf{x} \) van
\( V_p \) zijn op een unieke manier als
\( x^k \mathbf{e_k} \) en als
\( x'^{k'} \mathbf{e'_{k'}} \) te schrijven. Daarvan gebruik makend vinden we bij iedere basisvector
\( \mathbf{e_h} \) van
\( V_p \) een bijbehorende basiscovector
\( \mathbf{\hat{e}^h} \) van
\( V^*_p \). Deze basiscovectoren zijn functies van
\( V_p \) naar
\( \mathbb{R} \) die als argument vectoren
\( \mathbf{x} = x^k \mathbf{e_k} \) innemen, daar de coëfficiënt
\( x^h \) van afplukken en die coëfficiënt
\( x^h \) als functiewaarde weer afgeven. Deze basiscovectoren vormen tezamen een basis van
\( V^*_p \). Op dezelfde wijze vinden we ook bij de basisvectoren
\( \mathbf{e'_{h'}} \) van
\( V_p \) de bijbehorende basiscovectoren
\( \mathbf{\hat{e'}^{h'}} \) van
\( V^*_p \). Ook die vormen tezamen een basis van
\( V^*_p \)
Voor de componenten
\( T^{i_1 i_2 ... i_r}_{j_1 j_2 ... j_s} \) van een (r,s)-tensor T ten opzichte van de kaartafbeelding
\( \varphi \) geldt dan:
\(\)
\( T^{i_1 i_2 ... i_r}_{j_1 j_2 ... j_s} = T( \mathbf{\hat{e}^{i_1}} , \mathbf{\hat{e}^{i_2}} , ... , \mathbf{\hat{e}^{i_r}} , \mathbf{e_{j_1}} , \mathbf{e_{j_2}} , ... , \mathbf{e_{j_s}}) \)
\(\)
En voor de componenten
\( T^{i'_1 i'_2 ... i'_r}_{j'_1 j'_2 ... j'_s} \) van een (r,s)-tensor T ten opzichte van de kaartafbeelding
\( \varphi' \) geldt dan:
\(\)
\( T^{i'_1 i'_2 ... i'_r}_{j'_1 j'_2 ... j'_s} = T( \mathbf{\hat{e'}^{i'_1}} , \mathbf{\hat{e'}^{i'_2}} , ... , \mathbf{\hat{e'}^{i'_r}} , \mathbf{e'_{j'_1}} , \mathbf{e'_{j'_2}} , ... , \mathbf{e'_{j'_s}}) \)
\(\)
Dan zijn er matrices
\( \mathrm{A} = ( \mathrm{A}^{i'}_i ) \) en
\( \mathrm{B} = ( \mathrm{B}^j_{j'} ) \) zodat:
\(\)
\( \mathbf{\hat{e'}^{i'}} = \sum\limits_{i=1}^n \mathrm{A}^{i'}_i \, \mathbf{\hat{e}^i} = \mathrm{A}^{i'}_i \, \mathbf{\hat{e}^i} \)
\( \mathbf{e'_{j'}} = \sum\limits_{j=1}^n \mathrm{B}^j_{j'} \, \mathbf{e_j} = \mathrm{B}^j_{j'} \, \mathbf{e_j} \)
\(\)
En bijgevolg:
\(\)
\( \mathbf{\hat{e'}^{i'}}( \mathbf{e'_{j'}} ) = \delta^{i'}_{j'}\)
\(\)
\( [ \mathrm{A}^{i'}_i \, \mathbf{\hat{e}^i} ]( \mathrm{B}^j_{j'} \, \mathbf{e_j} ) = \delta^{i'}_{j'}\)
\(\)
\( \mathrm{A}^{i'}_i \mathrm{B}^j_{j'} \, \mathbf{\hat{e}^i}( \mathbf{e_j} ) = \delta^{i'}_{j'}\)
\(\)
\( \mathrm{A}^{i'}_i \mathrm{B}^j_{j'} \, \delta^i_j = \delta^{i'}_{j'}\)
\(\)
\( \mathrm{A}^{i'}_k \mathrm{B}^k_{j'} = \delta^{i'}_{j'}\)
\(\)
Dus als componenten van
\( T \) ten opzichte van de bases
\( \mathbf{\hat{e'}^{i'}} \) en
\( \mathbf{e'_{j'}} \) van respectievelijk
\( V^*_p \) en
\( V_p \) vinden we dan:
\(\)
\( T^{i'_1i'_2...i'_r}_{j'_1j'_2...j'_s} = T( \mathbf{\hat{e'}^{i'_1}} , \mathbf{\hat{e'}^{i'_2}} , ... , \mathbf{\hat{e'}^{i'_r}} , \mathbf{e'_{j'_1}}, \mathbf{e'_{j'_2}}, ... , \mathbf{e'_{j'_s}} ) \)
\(\)
\( T^{i'_1i'_2...i'_r}_{j'_1j'_2...j'_s} = T( \mathrm{A}^{i'_1}_{i_1} \, \mathbf{\hat{e}^{i_1}} , \mathrm{A}^{i'_2}_{i_2} \, \mathbf{\hat{e}^{i_2}} , ... , \mathrm{A}^{i'_r}_{i_r} \, \mathbf{\hat{e}^{i_r}} , \mathrm{B}_{j'_1}^{j_1} \, \mathbf{e_{j_1}}, \mathrm{B}_{j'_2}^{j_2} \, \mathbf{e_{j_2}}, ... , \mathrm{B}_{j'_s}^{j_s} \, \mathbf{e_{j_s}} ) \)
\(\)
\( T^{i'_1i'_2...i'_r}_{j'_1j'_2...j'_s} = \mathrm{A}^{i'_1}_{i_1} \, \mathrm{A}^{i'_2}_{i_2} \, ... \mathrm{A}^{i'_r}_{i_r} \, T( \mathbf{\hat{e}^{i_1}} , \mathbf{\hat{e}^{i_2}} , ... , \mathbf{\hat{e}^{i_r}} , \mathbf{e_{j_1}}, \mathbf{e_{j_2}}, ... , \mathbf{e_{j_s}} ) \, \mathrm{B}_{j'_1}^{j_1} \, \mathrm{B}_{j'_2}^{j_2} \, ... \mathrm{B}_{j'_s}^{j_s} \)
\(\)
\( T^{i'_1i'_2...i'_r}_{j'_1j'_2...j'_s} = \mathrm{A}^{i'_1}_{i_1} \, \mathrm{A}^{i'_2}_{i_2} \, ... \mathrm{A}^{i'_r}_{i_r} \,\,\, T^{i_1i_2...i_r}_{j_1j_2...j_s} \,\,\, \mathrm{B}_{j'_1}^{j_1} \, \mathrm{B}_{j'_2}^{j_2} \, ... \mathrm{B}_{j'_s}^{j_s} \)
\(\)
\(\)
\(\)
Laat
\( \mathbb{F} \) de verzameling van alle (via de inverse kaartafbeeldingen) oneindig vaak differentieerbare functies van
\( \mathcal{M} \) naar
\( \mathbb{R} \) zijn. Voor alle
\( f \in \mathbb{F} \) vinden we dan:
\(\)
\( \mathbf{e'_{j'}} = \left ( \frac{\partial}{\partial x'^{j'}} \right )_p \)
\(\)
\( [ \mathbf{e'_{j'}} ] f = \left [ \left ( \frac{\partial}{\partial x'^{j'}} \right )_p \right ] f \)
\(\)
\( [ \mathbf{e'_{j'}} ] f = \frac{\partial}{\partial x'^{j'}} (f \circ\varphi'^{-1})|_{\varphi'(p)} \)
\(\)
\( [ \mathbf{e'_{j'}} ] f = \frac{\partial}{\partial x'^{j'}} (f \circ ( \varphi^{-1} \circ \varphi ) \circ \varphi'^{-1})|_{\varphi'(p)}\)
\(\)
\( [ \mathbf{e'_{j'}} ] f = \frac{\partial}{\partial x'^{j'}} ((f \circ \varphi^{-1}) \circ ( \varphi \circ \varphi'^{-1}))|_{\varphi'(p)} \)
\(\)
\( [ \mathbf{e'_{j'}} ] f = \frac{\partial f \circ \varphi^{-1}}{\partial x^j}|_{\varphi(p)} \cdot \frac{\partial x^j}{\partial x'^{j'}}|_{\varphi'(p)} \)
\(\)
\( [ \mathbf{e'_{j'}} ] f = [ (\frac{\partial}{\partial x^j})_p f ] \cdot \frac{\partial x^j}{\partial x'^{j'}}|_{\varphi'(p)} \)
\(\)
\( [ \mathbf{e'_{j'}} ] f = \frac{\partial x^j}{\partial x'^{j'}}|_{\varphi'(p)} \cdot (\frac{\partial}{\partial x^j})_p f \)
\(\)
\( [ \mathbf{e'_{j'}} ] f = [ (\frac{\partial x^j}{\partial x'^{j'}} |_{\varphi'(p)} ) \cdot (\frac{\partial}{\partial x^j})_p ] f \)
\(\)
\( [ \mathbf{e'_{j'}} ] f = [ (\frac{\partial x^j}{\partial x'^{j'}} |_{\varphi'(p)} ) \mathbf{e_j} ] f \)
\(\)
\( \mathbf{e'_{j'}} = (\frac{\partial x^j}{\partial x'^{j'}} |_{\varphi'(p)} ) \, \mathbf{e_j} \)
\(\)
\(\)
Dus:
\(\)
\( \mathrm{B}^j_{j'} = \frac{\partial x^j}{\partial x'^{j'}} |_{\varphi'(p)} \)
\(\)
En:
\(\)
\( \mathrm{A}^{i'}_k \frac{\partial x^k}{\partial x'^{j'}} |_{\varphi'(p)} = \delta^{i'}_{j'}\)
\(\)
\(\)
En hier moet dan waarschijnlijk iets met de Jacobiaan gedaan worden? Maar ik zie nog niet hoe ik dan voor de \( \mathrm{A}^{i'}_k \) de bekende partiële afgeleiden krijg.
