basis kennis en toepassingen van tensoren

[Professor Puntje]

Het feit dat de lengte en richting van het potloodje onafhankelijk zijn van het gebruikte coördinatenstelsel waarmee de ruimte wordt beschreven waarin het potloodje zich bevindt maken dat het potloodje (voor zover zijn lengte en richting aangaat) door een tensor gerepresenteerd kan worden. Eigenlijk volstaat hier ook een vector, maar een vector is een simpel voorbeeld van een tensor. Vandaar dat de maker van die video's daar ook mee begint. Later wordt het ingewikkelder.

Maar het beste loop je niet vooruit op de video-reeks. Even snel tensoren begrijpen gaat niet. Als je de hele reeks video voor video bekijkt en daarover vragen stelt lukt het mogelijk wel.

[vijv]

Een potloodje is geen tensor maar zekere aspecten van een potloodje kunnen door een tensor gerepresenteerd worden.

De tensor is dan het potloodje dat op een bepaalde manier gerepresenteerd wordt door een combinatie van basisvectoren en coordinaten die steeds hetzelfde potloodje opleveren.
Dat samen is dan het 'object' tensor zoals ik het nu begrijp. Het potloodje als zodanig is dus maar een deel van het tensor object. je moet het dus als compleet object zien om het een tensor ter mogen noemen als ik het goed begrijp.

Het potloodje is het complete object. Maar dit kan beschreven worden door een lineaire combinatie van een aantal basispotlootjes. De basispotloodjes samen met de componenten (ook verwarrend coördinaten genoemd) bevatten alle info over het oorspronkelijke potloodje.

Ook in de filmpjes worden assenstelsels en basisvectoren door elkaar gebruikt en met elkaar verward.

Daarom nog eens duidelijk stellen:
Een vector is een element van een vectorruimte.
Een vectorruimte is uitgerust met een bewerking plus en een scalair product die aan bepaalde eigenschappen voldoen .
De voornaamste eigenschap (lineariteit) is dat a.v+b.u terug een vector is met a en b scalars en u en vvectoren
Door de eigenschappen van de vectorruimte kun je een basis definiëren, dit is een minimum set van vectoren die door lineaire combinatie alle andere vectoren kunnen vormen.
Deze basis set van vectoren is niet uniek, max er bestaan verschillende basissen in een vectorruimte.
De componenten van een vector in de ene basis kun je transformeren naar de componenten van diezelfde vector in een ander basis.
Dit wordt soms verwarrend een coördinatentransformatie genoemd maar heeft niets met coördinatenstelsels (assenstelsels) te maken.
Alle vectorruimtes hebben dezelfde transformatieregels (contravariant) : Verdubbel ik de basisvectoren dan halveren de componenten.
Dit geld ook voor de zogenaamde duale ruimtes.

Tot hier de basic vectorruimte.
Een tensor is een product van twee vectorruimtes en is op zichzelf terug een vectorruimte.

Tot hier toe is er nog geen sprake over lengte van een vector, hoeken tussen twee vectoren, etc.
Om dit te bekomen moet er een extra structuur worden toegevoegd aan de vectorruimte, nl het inproduct.
Met het inproduct kunnen we de lengte van een vector berekenen.
We willen echter dat de lengte van een vector onafhankelijk is de gekozen basis.
Dit kan niet met de componenten van een vector op zich, en er moet daarom een nieuwe vectorruimte gecreëerd worden, de duale ruimte.
De duale ruimte is de verzameling van lineaire functies van V naar R, maw een element van de duale ruimte stuurt elke vector naar een getal in R
We eisen dat de basis van de duale ruimte via het inproduct verbonden is met de basisvectoren van de oorspronkelijke vectorruimte.
Hierdoor zullen de componenten van de duale vectorruimte omgekeerd transformeren als de componenten van de oorspronkelijke vectorruimte bij een verandering van de basis van de oorspronkelijke vectorruimte.
Samengevat : basis veranderd in de oorspronkelijke vectorruimte->componenten veranderen contravariant
basis verandert in de duale ruimte -> componenten veranderen contravariant
basis verandert in de vectorruimte-> basis duale ruimte verandert contravariant, hierdoor veranderen de componenten van de duale ruimte covariant bij een verandering van basis in de vectorruimte.
Doordat de componenten van beide ruimtes omgekeerd ten opzichte van elkaar veranderen bij verandering van de basis kan er een product gemaakt worden dat onafhankelijk is van de gekozen basis.

Assenstelsel zijn tot hier toe niet nog niet vermeld geweest.

In de ART beschrijven we de ruimte en is er nood aan assenstelsel. Maar dat is een hoofdstuk op zich.
Het komt er op neer dat we daar de de basisvectoren van de vectorruimte (de raakruimte) koppelen aan de assenstelsels. Een ander assenstelsel geeft dus andere basisvectoren. Hierdoor lijkt het alsof de componenten transformeren bij assenstelseltransformatie.

Bovenstaand geld eigenlijk enkel voor eindig dimensionale vectorruimtes.
Voor oneindig dimensionale vectorruimtes is er een bijkomende eis aan het inproduct (metrische volledigheid). Zullk een vektorruimte noemen we een Hilbertruimte. Deze worden gebruikt in QM

Als je dit alles begrijpt, begrijp je vectoren en tensoren.

[HansH]

dingen formeel maken heeft denk ik wel als nadeel dat het moeilijker wordt om het basisidee te begrijpen en daar gaat het hier juist om.
Je haalt er wel een aantal zaken bij die je of al moet weten of uitgelegd moet krijgen;

-contravariant
-de raakruimte
-worden assenstelsels en basisvectoren door elkaar gebruikt en met elkaar verward. assenstelsel bepaalt de richting ven de basisvectoren neem ik aan maar de keuze van de lengte moet dan nog gedaan worden neem ik aan.
-duale ruimte wat is dat?
-oneindig dimensionale vectorruimtes . is dat essentieel om het idee te begrijpen?

[flappelap]

Kunnen we niet gewoon het meest simpele basisvoorbeeldje geven van een praktische toepassing waarin tensors gebruikt worden en hoe dat dan werkt en duidelijk dat tensor idee laat zien ? liefst dus in niet meer dan 2 dimensies zodat niet het bos onzichtbaar wordt door de bomen.

Als het simpel en basis moet: als je een kogel wegschiet en de beweging in een xy-vlak bekijkt, dan zijn de snelheid, versnelling en massa van de kogel tensoren (vector, vector en scalair).

[Professor Puntje]

Dat is het hele probleem hier: als het simpel moet ontbreekt er van alles aan de wiskundige onderbouwing, maar als je de wiskundige onderbouwing er wel bij wilt wordt het behoorlijk abstract en vergt het de nodig studie. Het is het een of het ander. Normaal gesproken bouw je je begrip van tensoren stapje voor stapje op, en dat kost nu eenmaal tijd en inspanning.

[wnvl1]

Een tensor is een product van twee vectorruimtes en is op zichzelf terug een vectorruimte.

Je bedoelt waarschijnlijk: "Het tensorproduct van twee vectorruimtes is zelf weer een vectorruimte."

[HansH]

Kunnen we niet gewoon het meest simpele basisvoorbeeldje geven van een praktische toepassing waarin tensors gebruikt worden en hoe dat dan werkt en duidelijk dat tensor idee laat zien ? liefst dus in niet meer dan 2 dimensies zodat niet het bos onzichtbaar wordt door de bomen.

Als het simpel en basis moet: als je een kogel wegschiet en de beweging in een xy-vlak bekijkt, dan zijn de snelheid, versnelling en massa van de kogel tensoren (vector, vector en scalair).

ik zie niet precies waar je naartoe wilt hiermee. ik kan het ook gewoon uitrekenen als verband tussen snelheid, versnelling en massa. dus wat voegt het 'tensor' zijn hier dan aan toe en hoe gaat dat in zijn werk?

[wnvl1]

Dus de tensor is dus het 'object' wat steeds hetzelfde blijft. kan dus een potloodje zijn met een lengte en een richting, maar kan als ik het goed begrijp dus blijkbaar ook een ruimtetijd interval zijn in SRT en ART waar alle waarnemers het over de lengte van dat interval (is combinatie van afstanden in de ruimte en verloop in de tijd ) eens zijn hoewel voor verschillende waarnemers dan wel onderling een verschillend afstand en tijd verloop kunnen waarnemen.

Je loopt hier al wat vooruit in je studie van tensoren. In de ART wordt het ruimtetijdinterval tussen twee infinitesimaal nabijgelegen gebeurtenissen uitgedrukt als
\[
ds^2 = g_{\mu\nu} \, dx^\mu dx^\nu.
\]

Hierbij zijn \(dx^\mu\) en \(dx^\nu\) de differentiaalvectoren die de infinitesimale verplaatsing in een gekozen coördinatenstelsel aangeven, waarbij \(\mu\) en \(\nu\) lopen van 0 tot 3, en vaak wordt \(x^0 = ct\) gekozen als de tijdcomponent. De tensor \(g_{\mu\nu}\) is de metrische tensor, een symmetrische (0,2)-tensor die de geometrische eigenschappen van de ruimtetijd bepaalt, zoals de kromming veroorzaakt door massa en energie.

In tensorformulering kan het ruimtetijdinterval ook worden geschreven als
\[
ds^2 = g_{\mu\nu} \, dx^\mu \otimes dx^\nu,
\]
waarmee wordt benadrukt dat \(ds^2\) een scalair is dat invariant blijft onder coördinatentransformaties. Dit is fundamenteel in de algemene relativiteitstheorie, omdat fysieke grootheden niet mogen afhangen van de keuze van het coördinatenstelsel.

Een scalair is in de tensorrekening een tensor van rang nul, oftewel een \( (0,0) \)-tensor. Dit betekent dat een scalair geen indices draagt en geen vector- of covectorargumenten heeft. Onder coördinatentransformaties blijft een scalair onveranderd, wat precies
de definitie is van een invariant grootheid.

Tensoren worden in het algemeen geclassificeerd door hun type \( (p,q) \), waarbij \( p \) het aantal contravariante indices en \( q \) het aantal covariante indices aangeeft. Een vector is een \( (1,0) \)-tensor, een covector is een \( (0,1) \)-tensor en de metrische
tensor \( g_{\mu\nu} \) is een symmetrische \( (0,2) \)-tensor.

In de algemene relativiteitstheorie spelen scalairen een fundamentele rol, omdat fysische grootheden onafhankelijk moeten zijn van de gekozen coördinaten. Het ruimtetijdinterval \( ds^2 = g_{\mu\nu} \, dx^\mu dx^\nu \) is daarom een scalair, oftewel een \( (0,0) \)-tensor.

[wnvl1]

Kunnen we niet gewoon het meest simpele basisvoorbeeldje geven van een praktische toepassing waarin tensors gebruikt worden en hoe dat dan werkt en duidelijk dat tensor idee laat zien ? liefst dus in niet meer dan 2 dimensies zodat niet het bos onzichtbaar wordt door de bomen.

Als het simpel en basis moet: als je een kogel wegschiet en de beweging in een xy-vlak bekijkt, dan zijn de snelheid, versnelling en massa van de kogel tensoren (vector, vector en scalair).

ik zie niet precies waar je naartoe wilt hiermee. ik kan het ook gewoon uitrekenen als verband tussen snelheid, versnelling en massa. dus wat voegt het 'tensor' zijn hier dan aan toe en hoe gaat dat in zijn werk?

Vectoren zijn (1,0) tensoren. Dus in de eerste jaren van het middelbaar leer je eigenlijk al werken met tensoren.

[flappelap]

Kunnen we niet gewoon het meest simpele basisvoorbeeldje geven van een praktische toepassing waarin tensors gebruikt worden en hoe dat dan werkt en duidelijk dat tensor idee laat zien ? liefst dus in niet meer dan 2 dimensies zodat niet het bos onzichtbaar wordt door de bomen.

Als het simpel en basis moet: als je een kogel wegschiet en de beweging in een xy-vlak bekijkt, dan zijn de snelheid, versnelling en massa van de kogel tensoren (vector, vector en scalair).

ik zie niet precies waar je naartoe wilt hiermee. ik kan het ook gewoon uitrekenen als verband tussen snelheid, versnelling en massa. dus wat voegt het 'tensor' zijn hier dan aan toe en hoe gaat dat in zijn werk?

Dat wordt handig als je van waarnemer verandert, zoals ik in die link uitleg. Zolang je dat niet boeit voegt het weinig toe, inderdaad. Maar je vroeg om "het meest simpele basisvoorbeeldje".

Als je iets minder triviaals wilt zien, dan kun je b.v. de elektromagnetische veldtensor F erbij slepen,

https://en.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_tensor

De transformatie van de componenten vertellen je hoe verschillende waarnemers elektrische en magnetische velden in elkaar over zien transformeren als ze hun snelheid veranderen.

[flappelap]

De elektromagnetische veldtensor F beschrijft de 3 elektrische veldcomponenten en 3 magnetische veldcomponenten, dus 3+3=6 in totaal. De componenten van F beschrijf je dan met een antisymmetrische 4x4 matrix (4×3/2=6). Als je middels een Lorentz-transformatie naar een nieuwe waarnemer gaat zijn de componenten in de nieuwe coordinaten (nieuwe waarnemer) lineaire combinaties van de oude componenten (oude waarnemer). Omdat die componenten de elektrische en magnetische veldcomponenten beschrijven, kun je zo dus afleiden hoe elektrische velden naar magnetische velden transformeren en vice versa onder Lorentz-transformaties.

De Maxwellvergelijkingen stellen bovendien dat F als "antisymmetrische afgeleide" van een 4-vector A kan worden beschreven, dat we "ijkveld" noemen. Wiskundig noteren we dat als "F=dA". Maar da's weer een ander verhaal

[wnvl1]

Of een nog eenvoudiger voorbeeld is de diëlektrische tensor, ik heb daar zelfs een puzzel over gepost.

post/puzzel-met-tensoren#p1271179