Vijfdegraadsfunctie opgelost?

[sajajpm]

Nee dat klopt maar half.
 
Immers je oplossing is een benadering, daardoor worden de anderen oplossingen dat ook.
(maakt dat je dan beter gelijk numeriek kunt gaan oplossen)
 
Er zijn echter twee oplossingen die als complexe radicalen kunnen worden geschreven.
Die worden dus niet gevonden, wat je methode incompleet maakt.

Wat bedoel je met benadering? 5t^3-5t^2+5t-1=0 en t^5+t-1=0 zijn overeenkomstige coëfficienten van t^5+x+1=0. Met de formule van Cardano kan je  5t^3-5t^2+5t-1=0 oplossen. x1=-0,7545378....en x2=-0,62731084....+i*0,82003516.....,en x3=-0,62731084....-i*0,82003516.....zijn de oplossingen van 5t^3-5t^2+5t-1=0

[sajajpm]

Wat bedoel je met benadering? 5t^3-5t^2+5t-1=0 en t^5+t-1=0 zijn overeenkomstige coëfficienten van t^5+x+1=0. Met de formule van Cardano kan je  5t^3-5t^2+5t-1=0 oplossen. x1=-0,7545378....en x2=-0,62731084....+i*0,82003516.....,en x3=-0,62731084....-i*0,82003516.....zijn de oplossingen van 5t^3-5t^2+5t-1=0

sorry, ze zijn niet de oplossingen van 5t^3-5t^2+5t-1=0 maar van t^5+t+1=0

[sajajpm]

Twintig posts later maak je nog steeds precies dezelfde denkfout. Je stelt stukken aan elkaar gelijk die niet aan elkaar gelijk hoeven te zijn. Het hoeft helemaal niet zo te zijn dat b = a⁵ + a. Je pogingen leiden tot niets en dat zal ook niet veranderen.  

okay, b is niet exact gelijk aan a⁵ + a.  x⁴-ax³ +a²x² -a³x+1+a⁴ =0 en x+a=0 zijn de wortels van x⁵+x+a⁵+a=0.

[mathfreak]

. x1=-0,7545378....en x2=-0,62731084....+i*0,82003516.....,en x3=-0,62731084....-i*0,82003516.....zijn de oplossingen van 5t^3-5t^2+5t-1=0

Dit zijn benaderde waarden omdat je slechts een aantal decimalen van de exacte oplossingen noemt. De formule van Cardano geeft de exacte uitkomst van een derdegraadsvergelijking. We weten inmiddels dat de algemene vijfdegraadsvergelijking niet met zuiver algebraïsche middelen kan worden opgelost. Met behulp van een speciaal type functies uit de complexe functietheorie is het wel mogelijk de exacte oplossingen van de algemene vijfdegraadsvergelijking te vinden. ,  

[tempelier]

Wat bedoel je met benadering? 5t^3-5t^2+5t-1=0 en t^5+t-1=0 zijn overeenkomstige coëfficienten van t^5+x+1=0. Met de formule van Cardano kan je  5t^3-5t^2+5t-1=0 oplossen. x1=-0,7545378....en x2=-0,62731084....+i*0,82003516.....,en x3=-0,62731084....-i*0,82003516.....zijn de oplossingen van 5t^3-5t^2+5t-1=0

De antwoorden die je hier geeft zijn benaderingen.
Wat er moet komen zijn de VIJF oplossingen geschreven als (complexe) radicalen.
Deze zijn er ook alle vijf, dus moeten ze gevonden kunnen worden als je methode zou werken.
 
Ook zijn je antwoorden incorrect:
t1= -0.754877666246692760049508896...........................
t2=0.8774388331233463800247544481...........................- (0.7448617666197442365931704286.................)i
t3=0.8774388331233463800247544481...........................+(0.7448617666197442365931704286.................)i
 
Ook is het me nogal raadselachtig hoe je een vijfdegraadsvergelijking oplost met een formule (Cardanus) die alleen werkt voor de derde graad.
 
==================
 
Alles overziende kom je in mijn ogen niet verder dan wat foutieve benaderingen.

[Th.B]

Wat je zegt in post #48 klopt, maar daar heb je dus niets aan, want gegeven b kan je a niet exact bepalen. Je loopt alleen maar rondjes.

[sajajpm]

De antwoorden die je hier geeft zijn benaderingen.
Wat er moet komen zijn de VIJF oplossingen geschreven als (complexe) radicalen.
Deze zijn er ook alle vijf, dus moeten ze gevonden kunnen worden als je methode zou werken.
 
Ook zijn je antwoorden incorrect:
t1= -0.754877666246692760049508896...........................
t2=0.8774388331233463800247544481...........................- (0.7448617666197442365931704286.................)i
t3=0.8774388331233463800247544481...........................+(0.7448617666197442365931704286.................)i
 
Ook is het me nogal raadselachtig hoe je een vijfdegraadsvergelijking oplost met een formule (Cardanus) die alleen werkt voor de derde graad.
 
==================
 
Alles overziende kom je in mijn ogen niet verder dan wat foutieve benaderingen.

In dit geval: stel  F(x)=x⁵+x+b, F'(x)=5x⁴ + 1=0 ⇒ 5x⁴ =-1 ⇒ x=(( j/5)(5)^½)^½  Λ  j² =-1, voor elke x is F'(x)>0, F(x) is een stijgende funktie en heeft slechts een snijpunt met de x-as. De snijpunt is exact F ( [((-4/135)+(D)^½ )^1/3 +((-4/135)-(D)^½ )^1/3 + 1/3] , 0)  Λ discriminant (D)^½ =((4/135)² +(2/3)³ )^½ > 0 ⇒ F(x) heeft geen compexe oplossing. 

[Th.B]

Nee, dat is onzin. Met de afgeleide toon je aan dat er maar 1 reële oplossing is, maar dat argument loopt spaak wanneer we oplossingen in de complexe getallen zoeken. Bijvoorbeeld: wat zijn volgens jou alle complexe oplossingen van x³ - 1 = 0?

[Professor Puntje]

Als je één exacte oplossing hebt (bijvoorbeeld een reële) dan is het probleem in wezen al opgelost, want dan kun je de rest van de oplossingen met een vierdegraadsvergelijking vinden. In het vinden van die ene exacte oplossing zit dus de crux van het probleem:

 

Als sajajpm iets bijzonders (en volgens de huidige wiskundige inzichten iets onmogelijks) wil presteren is het oplossen van onderstaande vergelijking met alleen [een eindig aantal keren] optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en worteltrekken ook al afdoende:

x⁵ + x + a = 0 .

Maar ik betwijfel sterk of sajajpm dat wel door heeft. Zo niet, dan kan dit topic nog eindeloos lang in cirkeltjes rond draaien.

[tempelier]

In dit geval: stel  F(x)=x⁵+x+b, F'(x)=5x⁴ + 1=0 ⇒ 5x⁴ =-1 ⇒ x=(( j/5)(5)^½)^½  Λ  j² =-1, voor elke x is F'(x)>0, F(x) is een stijgende funktie en heeft slechts een snijpunt met de x-as. De snijpunt is exact F ( [((-4/135)+(D)^½ )^1/3 +((-4/135)-(D)^½ )^1/3 + 1/3] , 0)  Λ discriminant (D)^½ =((4/135)² +(2/3)³ )^½ > 0 ⇒ F(x) heeft geen compexe oplossing. 

Volgens de Hoofdstelling van de algebra heeft F precies 5 nulpunten.
Deze mogen echter meerwaardig zijn, (waarvan echter hier geen sprake is).
Wel is deze vijfde graadsfunctie ontaard.
 
Er zijn gewoon vier verschillende complexe oplossingen die ik dan ook alle vier gevonden heb.
Ik heb er al twee van gegeven, maar ik heb ze ook in radikalen gevonden.
 
Dat is niet zo moeilijk omdat:
 

\(x^5+x+1=0\)

 
ontbindbaar is zoals ik al eerder meldde.

[Professor Puntje]

Als reëel nulpunt van F(x)=x⁵+x+b geeft sajajpm kennelijk:

 

[((-4/135)+(D)^½ )^1/3 +((-4/135)-(D)^½ )^1/3 + 1/3]

 

met: (D)^½ =((4/135)² +(2/3)³ )^½

 

 

Het nulpunt zou dus onafhankelijk van b zijn?

[sajajpm]

Als reëel nulpunt van F(x)=x⁵+x+b geeft sajajpm kennelijk:

 

[((-4/135)+(D)^½ )^1/3 +((-4/135)-(D)^½ )^1/3 + 1/3]

 

met: (D)^½ =((4/135)² +(2/3)³ )^½

 

 

Het nulpunt zou dus onafhankelijk van b zijn?

Het reële nulpunt is van 5x³ -5x² +5x-1=0 en 5x³ -5x² +5x-1=0 is een overeenkomstige coëfficient van x⁵ + x - b=o

Als reëel nulpunt van F(x)=x⁵+x+b geeft sajajpm kennelijk:

 

[((-4/135)+(D)^½ )^1/3 +((-4/135)-(D)^½ )^1/3 + 1/3]

 

met: (D)^½ =((4/135)² +(2/3)³ )^½

 

 

Het nulpunt zou dus onafhankelijk van b zijn?

nee, het nulpunt is afhankelijk van b.

[sajajpm]

Als je één exacte oplossing hebt (bijvoorbeeld een reële) dan is het probleem in wezen al opgelost, want dan kun je de rest van de oplossingen met een vierdegraadsvergelijking vinden. In het vinden van die ene exacte oplossing zit dus de crux van het probleem:

 

Maar ik betwijfel sterk of sajajpm dat wel door heeft. Zo niet, dan kan dit topic nog eindeloos lang in cirkeltjes rond draaien.

ja, dat eene exacte oplossing is de crux van het probleem, want dan kun je met een vierdegraadsvergelijking van de oorspronkelijke funktie de andere waarden vinden. 

[Professor Puntje]

Goed - geef dan je formule voor een exacte reële oplossing van x⁵ + x + c = 0 .
 
In die formule mag je maar een eindig aantal keren optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en worteltrekken. Andere bewerkingen zijn niet toegestaan.

[tempelier]

Als reëel nulpunt van F(x)=x⁵+x+b geeft sajajpm kennelijk:

 

[((-4/135)+(D)^½ )^1/3 +((-4/135)-(D)^½ )^1/3 + 1/3]

 

met: (D)^½ =((4/135)² +(2/3)³ )^½

 

 

Het nulpunt zou dus onafhankelijk van b zijn?

Ik heb de vorm door gerekend lijkt +0.2888944070866............... uit te komen wat geen oplossing is.
Maar ik kan me verrekend hebben, misschien kan een ander het eens narekenen.
 
(Ik heb wat moeite met het correct overnemen van dit soort vormen)