[wiskunde] integraal oefening

[RaYK]

\(\int\frac{3x-1}{\sqrt{(4x^2+4x+7)^3}} dx\)

als ik hier

\(d(4x^2+4x+7) = (8x+4)dx\)

\(3x-1=\frac{3}{8}(8x+4)-\frac{5}{2}\)

\(t = 4x^2+4x+7\)

\(\frac{3}{8}\int\frac{dt}{t^\frac{3}{2}}-\frac{5}{2}\)

mag dit? of ben ik ergens mis?

[TD]

Je laat wel een hoop weg, na die -5/2 volgt toch nog een integraal...?

\(\int {\frac{{3x - 1}}{{\sqrt {\left( {4x^2 + 4x + 7} \right)^3 } }} \,\mbox{d}x} = \frac{3}{8}\int {\frac{{8x + 4}}{{\sqrt {\left( {4x^2 + 4x + 7} \right)^3 } }}\,\mbox{d}x} - \frac{5}{2}\int {\frac{1}{{\sqrt {\left( {4x^2 + 4x + 7} \right)^3 } }}\,\mbox{d}x} \)

Nu is die eerste integraal in het rechterlid met de substitutie t = 4x²+4x+7 inderdaad:

\(\frac{3}{8}\int {\frac{{8x + 4}}{{\sqrt {\left( {4x^2 + 4x + 7} \right)^3 } }}\,\mbox{d}x} \to \frac{3}{8}\int {\frac{1}{{\sqrt {t^3 } }}\,\mbox{d}t} \)

[RaYK]

waarom moet die 2de integraal daar nog eens bij??

[TD]

\(\int {\frac{{3x - 1}}{{\sqrt {\left( {4x^2 + 4x + 7} \right)^3 } }}\,\mbox{d}x} = \int {\frac{{\frac{3}{8}\left( {8x + 4} \right) - \frac{5}{2}}}{{\sqrt {\left( {4x^2 + 4x + 7} \right)^3 } }}\,\mbox{d}x} \)

De breuk splitsen in twee termen:

\(\frac{{\frac{3}{8}\left( {8x + 4} \right) - \frac{5}{2}}}{{\sqrt {\left( {4x^2 + 4x + 7} \right)^3 } }} = \frac{3}{8}\frac{{\left( {8x + 4} \right)}}{{\sqrt {\left( {4x^2 + 4x + 7} \right)^3 } }} - \frac{5}{2}\frac{1}{{\sqrt {\left( {4x^2 + 4x + 7} \right)^3 } }}\)

Alles integreren...

Wat jij zegt is: (a+b)/c = a/c + b in plaats van (a+b)/c = a/c + b/c...

[RaYK]

ah ok, dan was bericht #3 waarschijnelijk ook niet geheel juist

daar stond

\(\int\frac{2x+8}{x^2+3x+6}dx\)

en de juiste oplossing is dan :

\( = \int\frac{(2x+3)+5}{x^2+3x+6}dx\)

\( = \int\frac{2x+3}{x^2+3x+6}dx + 5 \int\frac{1}{x^2+3x+6}dx\)

ipv

\(\int\frac{d(x^2+3x+6)}{x^2+3x+6}+5\)

[TD]

Uiteraard...

[RaYK]

\(\int\frac{3x-1}{\sqrt{(4x^2+4x+7)^3}} dx\)

\( = \int\frac{\frac{3}{8}(8x+4)-\frac{5}{2}}{\sqrt{(4x^2+4x+7)^3}}\)

\( = \frac{3}{8} \int\frac{8x+4}{\sqrt{(4x^2+4x+7)^3}}dx - \frac{5}{2}\int\frac{dx}{(4x^2+4x+7)^3}}dx\)

1ste integraal

\( \frac{3}{8} \int t^{-\frac{3}{2}} dt = \frac{3}{8}\cdot(-\frac{1}{2})\cdot\frac{1}{\sqrt{t}} = -\frac{3}{16}\cdot\frac{1}{\sqrt{4x^2+4x+7}} + C\)

2de integraal

als hier die tot de ³de niet zou staan zou ik hem opsplitsen in veeltermen.. maar nu met die ³de weet ik er eigelijk geen weg mee..

\(-\frac{5}{2}\int(4x^2+4x+7)^{-\frac{3}{2}} dx\)

.. ?

[TD]

Heb je al goniometrische substituties gezien?

\(4x^2 + 4x + 7 = \left( {2x + 1} \right)^2 + 6\)

Een geschikte substitutie is nu 2x+1 = sqrt(6).arctan(t).

[RaYK]

is dit de stelling die je bedoelt?:

\(\int f(x,\sqrt{a^2+x^2})dx \rightarrow x = a\cdot \tan t\)

of

\(x = a\cdot cotg t\)

ik zag net dat ik een fout geschreven heb in één van m'n vorige posts

\(- \frac{5}{2}\int\frac{dx}{\sqrt{(4x^2+4x+7)^3}}dx\)

was vierkantswortel vergeten..

[TD]

Inderdaad, met hier a²=6, gebruik daarna 1+tan²t = sec²t.

[RaYK]

vergeten we hier niet dat er nog een 3de macht bijstaat?

\(\sqrt{[(2x+1)^2+6]^3}\)

[jhnbk]

Maat dat wat uit als je exponenten gaat vermenigvuldigen?

[RaYK]

mh, ik zie hem niet, ik snap dat a²=6 en x = (2x+1) maar ik zie niet hoe ik dit hier moet toepassen, zit me er ondertussen al een tijdje op blind te staren :-/

\((2x+1) = \sqrt{6}\cdot arctg t\)

[TD]

Dat is inderdaad de substitutie. Los even op naar x zodat je dx = ...dt vindt en dan alles vervangen.