Op basis van het gepreciseerde schema van de Kelvin-druppelaar vinden we:
\( I_1(t-S) = \mbox{C}_1 . \frac{\mbox{d} U_1(t)}{\mbox{d} t} \, + \, \frac{U_1(t)}{\mbox{R}_1} \)
,
\( I_2(t-S) = \mbox{C}_2 . \frac{\mbox{d} U_2(t)}{\mbox{d} t} \, + \, \frac{U_2(t)}{\mbox{R}_2} \)
.
Veronderstel verder dat er positieve constanten d
1 en d
2 zijn zodat:
\( I_1(t) = - \mbox{d}_1 \, . U_2(t) \)
,
\( I_2(t) = - \mbox{d}_2 \, . U_1(t) \)
.
(Deze veronderstelling gaat voorbij aan het feit dat bij zeer hoge spanningen de druppeltjes niet meer in de opvangbakjes komen.)
Dan hebben we:
\( - \mbox{d}_1 \, . U_2(t-S) = \mbox{C}_1 . \frac{\mbox{d} U_1(t)}{\mbox{d} t} \, + \, \frac{U_1(t)}{\mbox{R}_1} \)
,
\( - \mbox{d}_2 \, . U_1(t-S) = \mbox{C}_2 . \frac{\mbox{d} U_2(t)}{\mbox{d} t} \, + \, \frac{U_2(t)}{\mbox{R}_2} \)
.
Oftewel:
\( \mbox{C}_1 . \frac{\mbox{d} U_1(t)}{\mbox{d} t} = - \mbox{d}_1 \, . U_2(t-S) \, - \, \frac{U_1(t)}{\mbox{R}_1} \)
,
\( \mbox{C}_2 . \frac{\mbox{d} U_2(t)}{\mbox{d} t} = - \mbox{d}_2 \, . U_1(t-S) \, - \, \frac{U_2(t)}{\mbox{R}_2} \)
.
Nog wat goochelen met plussen en minnen levert:
\( \mbox{C}_1 . \frac{\mbox{d} U_1(t)}{\mbox{d} t} = \mbox{d}_1 \, . (- U_2(t-S)) \, - \, \frac{U_1(t)}{\mbox{R}_1} \)
,
\( \mbox{C}_2 . \frac{\mbox{d} (- U_2(t))}{\mbox{d} t} = \mbox{d}_2 \, . U_1(t-S) \, - \, \frac{- U_2(t)}{\mbox{R}_2} \)
.
Voor het gemak schrijven we:
\( U_2' = - U_2 \)
.
Zodat:
\( \mbox{C}_1 . \frac{\mbox{d} U_1(t)}{\mbox{d} t} = \mbox{d}_1 \, . U_2'(t-S) \, - \, \frac{U_1(t)}{\mbox{R}_1} \)
,
\( \mbox{C}_2 . \frac{\mbox{d} U_2'(t)}{\mbox{d} t} = \mbox{d}_2 \, . U_1(t-S) \, - \, \frac{U_2'(t)}{\mbox{R}_2} \)
.
In het geval van een symmetrische druppelaar hebben we:
\( \mbox{C}_1 = \mbox{C}_2 = \mbox{C} \)
,
\( \mbox{R}_1 = \mbox{R}_2 = \mbox{R} \)
,
\( \mbox{d}_1 = \mbox{d}_2 = \mbox{d} \)
.
Dus:
\( \mbox{C} . \frac{\mbox{d} U_1(t)}{\mbox{d} t} = \mbox{d} \, . U_2'(t-S) \, - \, \mbox{R}^{-1} . U_1(t) \)
,
\( \mbox{C} . \frac{\mbox{d} U_2'(t)}{\mbox{d} t} = \mbox{d} \, . U_1(t-S) \, - \, \mbox{R}^{-1} . U_2'(t) \)
.
In het
volledig symmetrische geval waarin U
1(t) = U
2'(t) vanwege U
1(0) = U
2'(0), hebben we dan inderdaad maar met één vergelijking te doen. Namelijk:
\( \mbox{C} . \frac{\mbox{d} U(t)}{\mbox{d} t} = \mbox{d} \, . U(t-S) \, - \, \mbox{R}^{-1} . U(t) \)
.