Vragen over 'A First Course in General Relativity' van Bernard Schutz

[Professor Puntje]

Verder moet dan gelden:

\( v_x = \frac{U^{\overline{1}}}{U^{\overline {0}}} \,\, \& \,\, v_y = \frac{U^{\overline{2}}}{U^{\overline {0}}} \,\, \& \,\, v_z = \frac{U^{\overline{3}}}{U^{\overline {0}}} \)

[Professor Puntje]

We hebben dan:

\( (v_x)^2 \, + \, (v_y)^2 \, + \, (v_z)^2 = \left (\frac{U^{\overline{1}}}{U^{\overline {0}}} \right )^2 \,\, + \,\, \left ( \frac{U^{\overline{2}}}{U^{\overline {0}}} \right )^2 \,\, + \,\, \left ( \frac{U^{\overline{3}}}{U^{\overline {0}}} \right )^2 \)

\( (v_x)^2 \, + \, (v_y)^2 \, + \, (v_z)^2 = \left (\frac{1}{U^{\overline {0}}} \right )^2 \cdot \left \{ (U^{\overline{1}})^2 \,\, + \,\, (U^{\overline{2}})^2 \,\, + \,\, (U^{\overline{3}})^2 \right \} \)

\( (v_x)^2 \, + \, (v_y)^2 \, + \, (v_z)^2 = \left (\frac{1}{U^{\overline {0}}} \right )^2 \cdot \left \{ (U^{\overline {0}})^2 \,\, + \,\, - (U^{\overline {0}})^2 \,\, + \,\, (U^{\overline{1}})^2 \,\, + \,\, (U^{\overline{2}})^2 \,\, + \,\, (U^{\overline{3}})^2 \right \} \)

\( (v_x)^2 \, + \, (v_y)^2 \, + \, (v_z)^2 = \left (\frac{1}{U^{\overline {0}}} \right )^2 \cdot ( (U^{\overline {0}})^2 - 1 ) \)

\( (v_x)^2 \, + \, (v_y)^2 \, + \, (v_z)^2 = 1 -\frac{1}{ (U^{\overline {0}})^2 } = v^2 \,\,\,\,\,\, (^*) \)

[Professor Puntje]

Wil het frame \( \overline{O} \) een inertiaalframe zijn dan moet wegens (*) gelden dat:

\( 0 \leq 1 - \frac{1}{ (U^{\overline{0}})^2 } <1 \)

\( -1 \leq - \frac{1}{ (U^{\overline{0}})^2 } < 0 \)

\( -1 \leq - \frac{1}{ (U^{\overline{0}})^2 } \,\, \& \,\, - \frac{1}{ (U^{\overline{0}})^2 } < 0 \)

\( \frac{1}{ (U^{\overline{0}})^2 } -1 \leq 0 \,\,\, \& \,\, 0 < \frac{1}{ (U^{\overline{0}})^2 } \)

\( \frac{1}{ (U^{\overline{0}})^2 } \leq 1 \,\,\, \& \,\, 0 < \frac{1}{ (U^{\overline{0}})^2 } \)

\( 0 < \frac{1}{ (U^{\overline{0}})^2 } \leq 1 \)

\( (U^{\overline{0}})^2 > 1 \)

[Professor Puntje]

18.(a) Is makkelijk.

18.(b) Hier zit ik even met een taalprobleem, een null vector en een zero vector zijn verschillende dingen in het Engels, hoe zit dat in het Nederlands?

[wnvl1]

Ik vermoed dat je zelf iets zal moeten uitvinden als je een apart woord wil voor beide concepten in het Nederlands.

[Professor Puntje]

Dan maar in het Engels...

[Professor Puntje]

18.(b) Dit kan m.b.v. de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz toegepast op het ruimtelijke deel van de vier-vectoren en een bewijs uit het ongerijmde bewezen worden. Het was even puzzelen, maar verder niet heel moeilijk.

[Professor Puntje]

Volgende:

[Professor Puntje]

Een lichaam heet uniform versneld als voor de versnellings-viervector \( \vec{a} \) geldt dat:

i. \( \,\, \vec{a} \cdot \vec{a} = \alpha^2 \geq 0 \)

ii. \( \,\, \frac{ \mathrm{d} \vec{a}}{ \mathrm{d} \tau } = \vec{0} \)

Klopt ii. ook?

[wnvl1]

ja

[Professor Puntje]

Voor het MCRF moeten we de (vier-)snelheid \( \vec{U} \) van het lichaam weten. Wegens ii. hebben we daarvoor:

\( \frac{ \mathrm{d}^2 \vec{U}}{ \mathrm{d} \tau^2} = \vec{0} \)

Zodat:

\( \vec{U} = \tau \cdot \vec{A} + \vec{B} \)

Met \( \vec{A} \) en \( \vec{B} \) constante vier-vectoren. Maar omdat \( \frac{ \mathrm{d} \vec{U}}{ \mathrm{d} \tau} = \vec{a} \) moet \( \vec{A} = \vec{a} \). Dus:

\( \vec{U} = \tau \cdot \vec{a} + \vec{B} \)

Kennelijk is \( \vec{B} \) de vier-snelheid voor \( \tau = 0 \). Wat we schrijven als:

\( \vec{U} = \tau \cdot \vec{a} + \vec{U}_0 \)


Mag dat zo allemaal? Ziet er niet erg relativistisch uit...

[wnvl1]

ja

Dat moet nee zijn. Daar zit de fout. Uniforme versnelling betekent constante norm van de vier-versnelling, niet dat de vier-versnelling zelf constant is.

[wnvl1]

\(\vec{a}(\tau)\) verandert zelf mee met \(\tau\), zodat de orthogonaliteit \(\vec{a}\cdot \vec{U} = 0\) behouden blijft.

Dat is waarom de wereldlijn een hyperbool wordt (Rindler-traject):

$$
t(\tau) = \frac{c}{\alpha}\sinh\!\left(\frac{\alpha \tau}{c}\right), \quad
x(\tau) = \frac{c^2}{\alpha}\left(\cosh\!\left(\frac{\alpha \tau}{c}\right)-1\right).
$$

[Professor Puntje]

Zo dan?:

\( \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} \tau} (\vec{a} \cdot \vec{a}) = 0 \)

Maar wat zegt dat over de richting?

[wnvl1]

De versnelling “draait” in de vier-dimensies, maar behoudt zijn constante grootte. De vier-versnelling is altijd orthogonaal op de vier-snelheid. Dat is zo. Ik denk dat het het handigste is om verder te rekenen met de wereldlijn in mijn vorige post.