Het bewijs van Collatz

[Gast]

Goed - moet het dan zo:

Je hebt niet-lege deelverzamelingen V₀, V₁, V₂, ... , V_n , ... van \( \mathbb{N}_o \) met:
\( V_0 \supset V_1 \supset V_2 \supset V_3 \supset ... \supset V_n \supset .... \)
En je neemt aan dat voor motief1 geldt:
\( \mathrm{motief1}(V_0) = V_1 \)
\( \mathrm{motief1}(V_1) = V_2 \)
\( \mathrm{motief1}(V_2) = V_3 \)
\( \vdots\)
En verder:
\( \mathrm{motief1}(0) = 0 \).
\( \mathrm{motief1}(x) < x \) voor alle x uit V₀\{0}.

Ja, met uit motief1(x)=x volgt x=0

[Professor Puntje]

Laat nu:

motief1^[1](x) = motief1(x)
motief1^[2](x) = motief1(motief1(x))
motief1^[3](x) = motief1(motief1(motief1(x)))
\( \vdots \)

Dan heb je voor alle x uit V₀:
\( \lim\limits_{k \rightarrow \infty} \mathrm{motief1}^{[k]} (x) \, = \, 0 \)

[Gast]

Ja dat heb ik toch altijd gezegd

[Gast]

Laat nu:

motief1^[1](x) = motief1(x)
motief1^[2](x) = motief1(motief1(x))
motief1^[3](x) = motief1(motief1(motief1(x)))
\( \vdots \)

Dan heb je voor alle x uit V₀:
\( \lim\limits_{k \rightarrow \infty} \mathrm{motief1}^{[k]} (x) \, = \, 0 \)

Staat allemaal in mijn formeel bewijs dat u ook gekregen hebt!

[Professor Puntje]

Niet in zo'n duidelijke vorm. Wil je een publiek voor je ideeën vinden dan zul je de taal van de wiskunde moeten leren. Overigens is nu nog niet veel bewezen, want je zult nog moeten aantonen dat er een functie motief1 met de veronderstelde eigenschappen bestaat. En zelfs dan ben je nog niet klaar...

[Gast]

Niet in zo'n duidelijke vorm. Wil je een publiek voor je ideeën vinden dan zul je de taal van de wiskunde moeten leren. Overigens is nu nog niet veel bewezen, want je zult nog moeten aantonen dat er een functie motief1 met de veronderstelde eigenschappen bestaat. En zelfs dan ben je nog niet klaar...

Ik heb toch aangetoond dat motief1 zoals gedefinieerd deze eigenschappen heeft!
Welke eigenschappen heeft motief1 die ik nog niet bewezen heb?

[Professor Puntje]

Geef eerst eens een duidelijke definitie van motief1, dan praten we verder.

[Professor Puntje]

Ik had al eerder in dit topic dit voorgesteld:

Laat W de verzameling van alle niet-negatieve viervouden en oneven getallen zijn.

En laat:
\( \mathrm{P}(x,n) = \frac{ 9 x - 8 \cdot 4^n + 8}{ 12 \cdot 4^n} \)
\( \mathrm{Q}(x,n) = \frac{ 9 x - 4 \cdot 4^n + 7}{ 6 \cdot 4^n} \)

Dan is de functie \( \mathrm{motief1} \) voor alle x uit W gedefinieerd door het onderstaande voorschrijft waarbij m de maximale geheeltallige waarde van n is waarvoor \( \mathrm{P}(x,n) \) nog een geheel getal is (voor viervouden x) en \( \mathrm{Q}(x,n) \) nog een geheel getal is (voor oneven getallen x):

\( \mathrm{motief1}(x) = \left \{ \begin{array}{rcl} \mathrm{P}(x,m) & voor & x \mbox{ is een viervoud } \\ \mathrm{Q}(x,m) & voor & x \mbox{ is oneven} \end{array} \right . \)


- Wat was daar mis mee?

[Gast]

Ik had al eerder in dit topic dit voorgesteld:

Laat W de verzameling van alle niet-negatieve viervouden en oneven getallen zijn.

En laat:
\( \mathrm{P}(x,n) = \frac{ 9 x - 8 \cdot 4^n + 8}{ 12 \cdot 4^n} \)
\( \mathrm{Q}(x,n) = \frac{ 9 x - 4 \cdot 4^n + 7}{ 6 \cdot 4^n} \)

Dan is de functie \( \mathrm{motief1} \) voor alle x uit W gedefinieerd door het onderstaande voorschrijft waarbij m de maximale geheeltallige waarde van n is waarvoor \( \mathrm{P}(x,n) \) nog een geheel getal is (voor viervouden x) en \( \mathrm{Q}(x,n) \) nog een geheel getal is (voor oneven getallen x):

\( \mathrm{motief1}(x) = \left \{ \begin{array}{rcl} \mathrm{P}(x,m) & voor & x \mbox{ is een viervoud } \\ \mathrm{Q}(x,m) & voor & x \mbox{ is oneven} \end{array} \right . \)


- Wat was daar mis mee?

Dat is precies mijn definitie, kijk op mijn eerst document. Dus daar is niets mis mee!

[Professor Puntje]

Uitstekend! Dan kunnen we nu bekijken of motief1 ook voldoet aan de eisen die eraan gesteld zijn in het bewijs dat leidt tot de conclusie dat voor alle x uit V₀ geldt: \( \lim\limits_{k \rightarrow \infty} \mathrm{motief1}^{[k]} (x) \, = \, 0 \)

Om te beginnen kunnen we kiezen: V₀ = W. Mee eens?

[Gast]

U moet er rekening mee houden dat we van Trechter naar Trechter een wegligging hebben!!!,

[Professor Puntje]

Ik heb je stap voor stap gevraagd of je het met mijn vertaling naar eenduidige, heldere en leesbare wiskunde eens was, maar kennelijk heb je dus iets over het hoofd gezien. Wat moet er nog aan onderstaande veranderd worden?

Goed - moet het dan zo:

Je hebt niet-lege deelverzamelingen V₀, V₁, V₂, ... , V_n , ... van \( \mathbb{N}_o \) met:
\( V_0 \supset V_1 \supset V_2 \supset V_3 \supset ... \supset V_n \supset .... \)
En je neemt aan dat voor motief1 geldt:
\( \mathrm{motief1}(V_0) = V_1 \)
\( \mathrm{motief1}(V_1) = V_2 \)
\( \mathrm{motief1}(V_2) = V_3 \)
\( \vdots\)
En verder:
\( \mathrm{motief1}(0) = 0 \).
\( \mathrm{motief1}(x) < x \) voor alle x uit V₀\{0}.

[Professor Puntje]

Zo dan?

Laat W de verzameling van alle niet-negatieve viervouden en oneven getallen zijn, en laat W' de verzameling zijn van alle positieve viervouden en oneven getallen x waarvoor motief1(x) groter dan of gelijk aan x is. Kies nu V₀ = W. Dan heb je een rij deelverzamelingen V₀, V₁, V₂, ... , V_n , ... van \( \mathbb{N}_o \) met:
\( V_0 \supset V_1 \supset V_2 \supset V_3 \supset ... \supset V_n \supset .... \)
volgens:
\( V_1 = \mathrm{motief1}(V_0) \backslash W' \)
\( V_2 = \mathrm{motief1}(V_1) \backslash W' \)
\( V_3 = \mathrm{motief1}(V_2) \backslash W' \)
\( \vdots\)

[Professor Puntje]

Wil de opzet in het vorige berichtje mogelijk zijn dan moet voor de functie \( \mathrm{motief1} \) met domein W in elk geval gelden dat \( \mathrm{motief1}(W) \subset W \). Dat zal dus bewezen moeten worden.

[Gast]

Wil de opzet in het vorige berichtje mogelijk zijn dan moet voor de functie \( \mathrm{motief1} \) met domein W in elk geval gelden dat \( \mathrm{motief1}(W) \subset W \). Dat zal dus bewezen moeten worden.

Geef nu eens in eenvoudige bewoording weer waar u mee zit, dit kan verhelderend werken.