Het bewijs van Collatz

[Gast]

De opvolging bestaat uit alle beelden van de vorige verzameling

[Professor Puntje]

Eerder had ik dit (de opeenvolgende verzamelingen bevatten steeds de beelden onder motief1 van de elementen uit de voorgaande verzamelingen):

Goed - moet het dan zo:

Je hebt niet-lege deelverzamelingen V₀, V₁, V₂, ... , V_n , ... van \( \mathbb{N}_o \) met:
\( V_0 \supset V_1 \supset V_2 \supset V_3 \supset ... \supset V_n \supset .... \)
En je neemt aan dat voor motief1 geldt:
\( \mathrm{motief1}(V_0) = V_1 \)
\( \mathrm{motief1}(V_1) = V_2 \)
\( \mathrm{motief1}(V_2) = V_3 \)
\( \vdots\)
En verder:
\( \mathrm{motief1}(0) = 0 \).
\( \mathrm{motief1}(x) < x \) voor alle x uit V₀\{0}.

Maar daar was je het ook niet mee eens, want daar moesten toen weer elementen uit worden weggelegd. Hoeft dat nu weer niet?

[Gast]

Eerder had ik dit (de opeenvolgende verzamelingen bevatten steeds de beelden onder motief1 van de elementen uit de voorgaande verzamelingen):

Goed - moet het dan zo:

Je hebt niet-lege deelverzamelingen V₀, V₁, V₂, ... , V_n , ... van \( \mathbb{N}_o \) met:
\( V_0 \supset V_1 \supset V_2 \supset V_3 \supset ... \supset V_n \supset .... \)
En je neemt aan dat voor motief1 geldt:
\( \mathrm{motief1}(V_0) = V_1 \)
\( \mathrm{motief1}(V_1) = V_2 \)
\( \mathrm{motief1}(V_2) = V_3 \)
\( \vdots\)
En verder:
\( \mathrm{motief1}(0) = 0 \).
\( \mathrm{motief1}(x) < x \) voor alle x uit V₀\{0}.

Maar daar was je het ook niet mee eens, want daar moesten toen weer elementen uit worden weggelegd. Hoeft dat nu weer niet?

U vergist zich!

[Gast]

Eerder had ik dit (de opeenvolgende verzamelingen bevatten steeds de beelden onder motief1 van de elementen uit de voorgaande verzamelingen):

Goed - moet het dan zo:

Je hebt niet-lege deelverzamelingen V₀, V₁, V₂, ... , V_n , ... van \( \mathbb{N}_o \) met:
\( V_0 \supset V_1 \supset V_2 \supset V_3 \supset ... \supset V_n \supset .... \)
En je neemt aan dat voor motief1 geldt:
\( \mathrm{motief1}(V_0) = V_1 \)
\( \mathrm{motief1}(V_1) = V_2 \)
\( \mathrm{motief1}(V_2) = V_3 \)
\( \vdots\)
En verder:
\( \mathrm{motief1}(0) = 0 \).
\( \mathrm{motief1}(x) < x \) voor alle x uit V₀\{0}.

Maar daar was je het ook niet mee eens, want daar moesten toen weer elementen uit worden weggelegd. Hoeft dat nu weer niet?

U vergist zich!

We halen alleen originelen weg, geen beelden.

[Professor Puntje]

Ik geef het stokje over. Wie 'm wil mag 'm hebben.

[Gast]

Goed - moet het dan zo:

Je hebt niet-lege deelverzamelingen V₀, V₁, V₂, ... , V_n , ... van \( \mathbb{N}_o \) met:
\( V_0 \supset V_1 \supset V_2 \supset V_3 \supset ... \supset V_n \supset .... \)
En je neemt aan dat voor motief1 geldt:
\( \mathrm{motief1}(V_0) = V_1 \)
\( \mathrm{motief1}(V_1) = V_2 \)
\( \mathrm{motief1}(V_2) = V_3 \)
\( \vdots\)
En verder:
\( \mathrm{motief1}(0) = 0 \).
\( \mathrm{motief1}(x) < x \) voor alle x uit V₀\{0}.

Ja, met uit motief1(x)=x volgt x=0

Excuus, hier te snel ja gezegd

[Gast]

Daarom moet er eerst gewoon gepraat worden, wat zij ieders gedachte gangen, daarna komt het formele bewijs.
En nogmaals het formele bewijs is geleverd.
Het is alleen voor velen lastig om te begrijpen wat er nu precies gebeurd, praat daarover zonder formules. Dat helpt.

[R_Bena]

Fase van praten over gedachtegangen is voor de meesten die een bijdrage aan deze topic hebben geleverd voorbij. Er wordt hard bewijs geleverd voor veronderstellingen, of er is geen sprake van een bevestiging van het vermoeden van Collatz. Er kan ook niet eeuwenlang beweerd worden dat de aarde om de zon draait zonder stevig empirisch/wiskundig bewijs.

[Gast]

Fase van praten over gedachtegangen is voor de meesten die een bijdrage aan deze topic hebben geleverd voorbij. Er wordt hard bewijs geleverd voor veronderstellingen, of er is geen sprake van een bevestiging van het vermoeden van Collatz. Er kan ook niet eeuwenlang beweerd worden dat de aarde om de zon draait zonder stevig empirisch/wiskundig bewijs.

Nu ik heb bewijs geleverd, het belangrijkste bewijs is de formele bewijs van de afdaling van de verzamelingen.
Dit is bevestigd door PP.
Dus waar ligt uw onzekerheid nog?

[Gast]

Zie mijn formeel bewijs, wat is uw commentaar daarop?

[Professor Puntje]

Je moet de zaak niet verdraaien. Ik heb geprobeerd je verhaal in een formeel wiskundig bewijs om te zetten, maar dat is niet gelukt omdat je ondanks eerdere instemmingen weer op zaken bent teruggekomen. Het is voor mij zo geen doen om een rigoureus bewijs op te stellen. Er resten daarom nu enkel fragmenten van een bewijs. Ook vijv heeft werk in die richting verricht. En er zijn in dit topic diverse problematische kanten van je redeneringen aangeduid. Kortom: een en al onzekerheid. Dat kan alleen worden weggenomen door een leesbaar wiskundig bewijs. Meer vage praat helpt zeker niet.

[Gast]

Waren we het er niet over eens dat elke Trechter een minimum moet hebben, gezien de welgeordende verzameling?
Waren we het er niet over eens dan alle elementen in een Trechter alleen elementen bezit die kleiner zijn dan hun origineel 1 Trechter hoger?
Waren we het er niet over eens dat dit in N niet eeuwig door kan gaan zonder bij een minimum uit te komen?
Waren we het er niet mee eens dat het enige stabiele punt 0 is
Waren we het er niet mee eens dat dan alle beelden naar 0 moeten gaan?

U bent een bijzondere wiskundige als u ook maar 1 van deze beweringen kunt tegenspreken.

[Gast]

Waren we het er niet over eens dat elke Trechter een minimum moet hebben, gezien de welgeordende verzameling?
Waren we het er niet over eens dan alle elementen in een Trechter alleen elementen bezit die kleiner zijn dan hun origineel 1 Trechter hoger?
Waren we het er niet over eens dat dit in N niet eeuwig door kan gaan zonder bij een minimum uit te komen?
Waren we het er niet mee eens dat het enige stabiele punt 0 is
Waren we het er niet mee eens dat dan alle beelden naar 0 moeten gaan?

U bent een bijzondere wiskundige als u ook maar 1 van deze beweringen kunt tegenspreken.

Dus geef commentaar op het formele bewijs van de “afdalende verzamelingen”

[Gast]

Beter uitgeschreven

[EvilBro]

Stel er bestaat een verzameling V waarvan alle elementen in het domein van de functie f liggen. Er wordt nu een nieuwe verzameling V' gedefinieerd op de volgende wijze:

\(V' = \{ x | x \in V \mbox{ en } f(x) < x\} \)

Vervolgens wordt er een verzameling W gedefinieerd:

\(W = \{ f(x) | x \in V'\} \)

Geldt er nu \(W \subseteq V'\)?
Het antwoord is, in het geval dat f gelijk is aan motief1, dat dit niet het geval is. Een eenvoudig tegenvoorbeeld is het element 3. Dit element kan per definitie niet in V' liggen, want f(3) = 5. Het element 3 zit echter wel in W, want f(4) = 3.
Als nu de functie f wordt toegepast op de elementen van W zal niet voor alle elementen gelden \(f(x) < x\). Het herhaaldelijk toepassen van f heeft dus niet de geclaimde eigenschap.

Is dit dan niet op de een of andere manier te redden?

Je zou kunnen proberen te claimen dat je voor de toepassing van de functie f altijd eerst weer de verzameling moet 'opschonen' (Net zoals je van V naar V' hebt gedaan). Het probleem hiervan is dat het argument dan ook werkt voor functies waar het overduidelijk niet voor zou moeten werken. Stel dat ik de volgende functie g heb:

\(g(0) = 0\)

\(g(1) = 0\)

\(g(x) = 2 \cdot x \mbox { voor } x > 1\)

De beginverzameling is de verzameling van alle natuurlijke getallen. De opgeschoonde verzameling is {0, 1}. Hierop de functie g toepassen en alles komt uiteindelijk (na 1 stap) op 0 uit. De conclusie dat g dus alle waarden naar 0 brengt, lijkt mij echter niet geoorloofd.

Een andere poging die je zou kunnen doen is door de verzameling V' waarmee je begint strikter te stellen. Bijvoorbeeld:

\(V' = \{ x | x \in V \mbox{ en } f(x) < x\ \mbox{ en } f(f(x)) < f(x)\}\)

Nu kun je de functie f zonder problemen twee keer toepassen. Bij de derde keer heb je wederom hetzelfde probleem. Je kunt dan weer proberen V' aan te passen, maar zo blijf je het probleem steeds een stap verder opschuiven.