Relativistische golfvergelijking voor gebonden systemen?

[Boormeester]

Ik moet toch nog even terug komen op bericht 84. Daarin stel ik dat de hoeksnelheids frequentie niet gelijk is aan de "de Broglie" frequentie. Ik moet daar toch op terug komen. Ik denk namelijk dat wat ik in eerste instantie opschreef toch correct is, alleen verwoorde ik het in bericht 84 niet correct. Ik dacht namelijk aan de translatie "de Broglie frequentie" en die neemt toe met het toenemen van de impuls.
Echter de spin neemt niet toe, die blijft gewoon 1/2. Wat ik in het uitgerekende impuls moment deed was de translatie energie (plus de rustmassa energie) gelijk stellen aan h*f. Waarin f dan inderdaad de hoekfrequentie is.   Je kunt dan stellen dat h*f = m_oc²

[Boormeester]

 Wat ik in het uitgerekende impuls moment deed was de translatie energie (plus de rustmassa energie) gelijk stellen aan h*f. Waarin f dan inderdaad de hoekfrequentie is.   Je kunt dan stellen dat h*f = m_oc²

 
Het moet niet translatie energie zijn maar rotatie energie, sorry.

[Boormeester]

Als je de uitgerekende rotatie energie gelijk stelt aan h*f, dan heb je ook een mogelijkheid om h uit te rekenen. Dat zal niet helemaal kloppen want het is maar een bolletjes model, maar zal toch wel redelijk dicht in de buurt liggen. h is dan uit te drukken als functie van de lichtsnelheid, hoeksnelheid, de straal van de bol en de dichtheid van het bolletje. 

[Boormeester]

Helaas moet ik weer een bericht van mij corrigeren. Het gaat over de hoeksnelheid. Zie bijv bericht 71 en verder. Ik beweerde daarin dat de hoeksnelheid voor alle 4 de deeltjes hetzelfde is. Maar dit kan niet kloppen nu ik ook het impulsmoment heb uitgerekend en daarin de hoeksnelheid gelijk heb gesteld aan de "de Broglie"  frequentie. Daarin heb ik m_oc² = hf  gesteld. Voor elk van de 4 deeltjes geldt een ander m₀c² en dan kan f (en dus de hoeksnelheid) niet hetzelfde zijn voor elk deeltje apart.
Als we dus de familie: elektron, muon en tau nemen, dan is de hogere rustmassa dus te wijten aan een hogere hoeksnelheid en wellicht ook een andere straal. De heer DSS merkte dat terecht op.
Dan kunnen we het volgende stellen:
de hoeksnelheid wordt gegeven door: m₀c²/h
De dichtheid wordt per familie als constant beschouwd, 
De straal volgt uit impulsbehoud: kwantum mechanisch is de absolute waarde L = √(s²+s)*h/2π = constante + h/2π  met s = 1/2.
 
In de vergelijking voor de constante zit dan R als functie van de hoeksnelheid, de lichtsnelheid en de dichtheid. 

[Boormeester]

Ik kom nog even terug op de vergelijking E² = m²₀c⁴ +p²c²,  en dan met name op de term m_oc^2.  Als er sprake is van spin dan zit dat in deze term verborgen, de rustenergie is dan immers de rotatie energie. Als je weer even het cilinderschilletje neemt dan is de impuls p van dat schilletje met massa dm : dp= v*dm.
Hieruit volgt dat de rotatie energie is: dE_rot= c² * dm = c² * dp/v = c²/w * 1/y*dp  waarin p een functie is van y  en w de hoeksnelheid..
E_rot= m_oc²= integraal c²/w * 1/y*dp . Dit laat zien dat in de rustenergie dan ook de impuls vertegenwoordigt is en als zodanig vertaald kan worden naar de Dirac vergelijking. 
 
Is er geen spin, dan is de rustenergie ook daadwerkelijk de rustenergie en is er geen impuls component aanwezig.

[Boormeester]

Ik heb in mijn volgende bijdrage weer 2 blaadjes volgeschreven waarbij ik de relativistische energie vergelijking heb gecombineerd met de kwantum mechanische (E=h*f). Je kan dan komen tot interessante conclusies (als je naar de golflengte kijkt) en als mijn interpretatie juist is, dan is een deeltje voor te stellen als een trilling (v=o) en als het deeltje dan gaat bewegen wordt de trilling een golf.
Maar als het deeltje een trilling ondergaat, dan is er ook sprake van een potentiaal vanuit het centrum van de trilling en die meebeweegt. Kortom ik hoor graag of mijn interpretatie juist is?

[Boormeester]

Vandaag schoot me nog de volgende gedachte te binnen:
Klassiek wordt de energie in aparte termen opgeteld maar relativistisch kwadratisch. Om nu tot een relativistische kwantummechanische vergelijking voor gebonden systemen te komen (wat het onderwerp is van deze discussie) zou je relativistisch een potentiele energie term kunnen toevoegen in het kwadraat en daarop het correspondentie principe op los laten. Je krijgt dan de Klein-Gordon vergelijking maar dan met een potentiele energie term.

[Boormeester]

In navolging op bericht 97 nog de volgende opmerking over het kwadratisch optellen van energie bijdragen in de SRT.
Passen we dit toe op de rustmassa van een elementair deeltje dan zou je het volgende kunnen stellen:
(m_{o deeltje})² = (m _trilling)² + (m _rotatie)² ,    in woorden: (rustmassa deeltje)² = (rustmassa tgv trilling)² + (rustmassa tgv rotatie)²
 
Relativistisch kun je er gewoon aan rekenen als je aannneemt dat een deeltje geen puntmassa is maar afmetingen heeft orden van groten groter dan de planck lengte. De amplitude van de trilling van een elektron komt ongeveer op een halve picometer. De afmeting van een bolletje is dan vele machten van tien kleiner.
Op deze schaal kun je de trillingspotentiaal gewoon benaderen als evenredig met de afstand of, als een relativistische benadering, wellicht de cosh.
De rotatie is met een eenparige hoeksnelheid dus daar is een potentiaal niet nodig om de rotatie energie te berekenen.

[Boormeester]

bericht 97 en ten dele bericht 98 is niet juist. Energie moet je relativistisch gewoon ook lineair optellen. Kwadratisch optellen is onzin. Neem me niet kwalijk.
Wat wel correct is dat je zou kunnen stellen dat de rustmassa van een deeltje uit tenminste de rustmassa van de trilling bestaat en, als er sprake is van spin, ook uit  een rotatie component.

[Boormeester]

In bericht 96 schreef ik dat de trilling longitudinaal zou zijn maar bij nader inzien moet dat toch transversaal zijn. Bij een spleet is de breedte daarvan van invloed of je buigings verschijnselen hebt of niet (of minder). Dat kan alleen als de golf transversaal is. Zou het longitudiaal zijn dan zou de breedte van de spleet er niet toe doen.
Aangezien de amplitude van de golf afhankelijk is van de energie (hoe energie rijker, hoe kleiner de amplitude) vertaalt zich dat in de breedte van de spleet. Hoe energie rijker het deeltje hoe nauwer de spleet moet zijn.

[Boormeester]

Heb geprobeerd relativistisch te rekenen aan een trilling waarvan de potentiaal een cosh is. Zie de bijgevoegde 3 bladzijden.
Er volgt nog meer daar je in het geval van de trilling relatief makkelijk de frequentie van de trilling kan berekenen. Maar dat komt wat later.

[Boormeester]

Nog wat gefilosofeer over energie, impuls en rustmassa en de 12 bestaande deeltjes met spin 1/2.

[Boormeester]

Toen ik bericht # 31 plaatste rekende ik met een 'De Broglie' snelheid van c (c=λ_b*f_b), de lichtsnelheid. Van daaruit kun je rekenen naar de energie niveau's van het waterstofatoom (relativistisch, SRT) : E_n = m_oc²√(1-α²/n²), waarin α de fijnstructuur constante is.
E_n=E_o + E_kin + E_pot  en n een natuurlijk getal ≥ 1.
 
In bericht # 96 rekende ik met een 'De Broglie' snelheid van v=λ_b*f_b.  Als je dan rekent aan een relativistische formule voor de energie niveau's van het waterstofatoom krijg je een iets andere formule.
Nu heb ik voor beide gevallen de overgang van n=1 naar n=2 uitgerekend en alleen de bovenstaande formule levert het juist resultaat. Dit betekent dat de in bericht # 96 genoemde trilling niet juist is. Helaas.
Een 'De Broglie' golf beweegt dus met een fasesnelheid van c en een groepsnelheid van v (uitgaande van een golfpakket).
Bij het waterstofatoom voor n=1, past een golflengte op de omtrek van de baan, hetgeen betekent dat het golfpakket interfereert met zichzelf en dat levert dus blijkbaar een stabiele baan op die geen EM straling uitzend.
Als je naar bovenstaande formule kijkt dan zou je je kunnen afvragen of er in het waterstof atoom nog andere energie toestanden mogelijk zijn. De term onder het wortelteken kan immers nog kleiner worden dan voor n=1. Het elektron golfpakket zou dan nog dichter bij de kern kunnen komen. Als het golfpakket constructief interfereert met zichzelf zou dat mogelijk moeten zijn. n zou dan bijv. 1/2 kunnen zijn, dwz elke halve golflengte interfereert met het golfpakket.
Er is wat onderzoek gedaan door de TU Eindhoven, zie het bijgevoegde artikel dat ik vond door de zoekmachine van Google.