Wiskunde van de ART

[Th.B]

Ik snap niet wat je met die opmerking over V en V** bedoelt. Deze kunnen met elkaar geidentificeerd worden (en dat wordt vaak impliciet gedaan) maar hoe is dat vergelijkbaar met wat we hier doen? 
 
Je bewijzen vragen (in ieder geval notationeel) meer werk als je dat soort (kanonieke) identificatie-afbeeldingen steeds niet wilt weglaten in je redenering. Qua notatie is differentiaalmeetkunde al geen makkelijk iets, maar het wordt alleen maar onoverzichtelijker als je die mate van precisie nastreeft. Dat gaat dan ook ten koste van je conceptuele begrip. 
 
Neem het volgende voorbeeld: Het kruisproduct van twee verzamelingen A en B is gedefinieerd als A x B := {(a,b) | a in A, b in B}. Als ik het kruisproduct van drie verzamelingen neem, is (A x B) x C strikt genomen niet hetzelfde object als A x (B x C). De operatie is dus niet associatief. Echter, we beschouwen ze wel als zijnde hetzelfde object, omdat we ze op een simpele manier (door middel van een afbeelding) met elkaar kunnen identificeren. Voortaan schrijven we dus A x B x C voor het kruisproduct van 3 verzamelingen, waarbij ik dus formeel gezien de unieke equivalentieklasse van verzamelingen bedoel onder de relatie die wordt gedefinieerd door die identificatie. Zoiets dergelijks gebeurt ook bij tensor producten: het tensorproduct is formeel gezien niet associatief. Maar op iedere relevante manier zijn de twee 'mogelijkheden' wel hetzelfde, dus we bekijken gewoon altijd de klasse. 
 
Het  moge duidelijk zijn dat zulke overwegingen nooit echt specifiek worden genoemd in de literatuur: zoals je misschien zelf al merkt is het alleen maar verwarrend. Door jezelf de stof eigen te maken kun je dit soort 'abuse of notation' uiteindelijk wel waarderen. 

[Professor Puntje]

De voorbeelden die je geeft betreffen inderdaad in principe hetzelfde. Maar omdat het daarbij duidelijk is wat je doet heb ik er minder moeite mee. Het probleem met de wiskunde van de ART is dat ik die nog onvoldoende onder de knie heb, en daarom heb ik er moeite mee wanneer er via de notatie allerlei zaken anders worden voorgesteld dan ze zijn. Maar ik kan ook wel weer begrijpen dat zodra je de theorie door hebt extreme precisie niet langer nodig is en vooral ergernis wekt.  

 

Aangezien deze kwestie steeds weer opduikt heb ik de vraag ook nog elders gesteld:

https://www.reddit.com/r/math/comments/80nh0q/identification_in_mathematics/

Het zou fijn zijn als daar een voor mij acceptabele algemeen toepasbare oplossing uit rolt.

[Th.B]

Je moet je ook afvragen wat (ondanks het feit dat je de wiskunde nu nog niet onder de knie hebt) het beste leerpad is om te nemen. Toen mij op de middelbare school werd uitgelegd wat een kruisproduct was, wist ik natuurlijk niks van equivalentieklassen of kanonieke isomorfismen. Als je maar voldoende je best doet om te werken op de manier zoals het gepresenteerd wordt, kun je uiteindelijk de diepere uitleg misschien ook beter begrijpen; dat is mijn suggestie. Het zou zonde zijn om door dit soort zaken gedemotiveerd te raken. Je draadje op reddit leek ook niet echt uitkomst te bieden, helaas!

[Professor Puntje]

Het zou mooi zijn als we liefst met equivalentieklassen in één keer konden bewijzen dat de in de wiskunde gebruikelijke identificaties in de haak zijn. Dan hoef ik mij daar verder ook niet druk meer om te maken, want bij ieder volgend geval hoef ik mij dan enkel te herinneren waarom je zo te werk mag gaan. Ik zal daar eens over nadenken.
 
Verder over mijn leerpad. Ik probeer nu met reuzenstappen door de differentiaalmeetkunde en tensorrekening tot begrip van de Einsteinvergelijking te komen. Ik wil die vergelijking kunnen lezen en begrijpen zoals ik ook bijvoorbeeld de gravitatiewet van Newton kan lezen en begrijpen. Dat is mijn einddoel, de vraag is nu hoeveel wiskunde ik daarvoor uiteindelijk nodig heb...?

[Professor Puntje]

Kennelijk heeft het hiermee te maken:
 
https://en.wikipedia.org/wiki/Abuse_of_notation
 
Ik heb nu geen tijd om dat verder uit te diepen, maar met wat goede links of literatuur over die kwestie moet het probleem voor mij uit de wereld te helpen zijn.

[Professor Puntje]

Hier een interessante en voor mij zeer herkenbare discussie over abuse of notation:
 
https://math.stackexchange.com/questions/264610/why-is-abuse-of-notation-tolerated

[Professor Puntje]

Ik heb over de kwestie van de identificatie van V en V** een nieuw topic geopend:
 
https://sciencetalk.nl/forum/index.php/topic/205383-identificatie-van-v-en-v/
 
Hier in dit topic wil ik als volgende stap de <b>covariante afgeleide</b> bekijken.

[Th.B]

Je pad door deze stof heen is niet erg lineair. Voor een echt begrip van de covariante afgeleide is nog veel meer 'voorkennis' binnen de differentiaalmeetkunde vereist dan alleen maar een (elementair) begrip van (een mogelijke interpretatie van) de raakruimte aan een variëteit, zeker als je het wilt begrijpen op het niveau wat jij nastreeft. We zouden dan eerst moeten kijken naar de raakbundel, de coraakbundel, vectorvelden, Riemann-metrieken, connecties op bundels...
 
Wat weerhoudt je ervan om gewoon een boek over differentiaalmeetkunde te kopen (bijvoorbeeld Lee) en daar eerst een aantal hoofdstukken uit te bestuderen?
 
Op deze manier kom je keer op keer vast te zitten. Het werkt alleen maar demotiverend. Maar goed, dat is mijn mening. 

[Professor Puntje]

Dat is een idee. Ik heb de volgende boeken in de kast staan:
 
Weyl: The Concept of a Riemann Surface.
 
Boothby: An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry.
 
Chen ea: Lectures on Differential Geometry.
 
Spivak: Calculus on Manifolds.
 
Bishop & Goldberg: Tensor Analysis on Manifolds.
 
Graaf: Tensorrekening en Differentiaalmeetkunde.
 
O'Neill: Semi-Riemannian Geometry.
 
Waar zou ik het beste mee kunnen beginnen?
 
 
 
 
 

[Th.B]

http://www.science.unitn.it/~moretti/manifolds.pdf
 
Deze link ziet er heel aardig uit, en Chern is ook een goede keus wat mij betreft. 

[Professor Puntje]

OK - ik begin met de pdf te bestuderen.

[flappelap]

Je pad door deze stof heen is niet erg lineair. Voor een echt begrip van de covariante afgeleide is nog veel meer 'voorkennis' binnen de differentiaalmeetkunde vereist dan alleen maar een (elementair) begrip van (een mogelijke interpretatie van) de raakruimte aan een variëteit, zeker als je het wilt begrijpen op het niveau wat jij nastreeft. We zouden dan eerst moeten kijken naar de raakbundel, de coraakbundel, vectorvelden, Riemann-metrieken, connecties op bundels...
 
Wat weerhoudt je ervan om gewoon een boek over differentiaalmeetkunde te kopen (bijvoorbeeld Lee) en daar eerst een aantal hoofdstukken uit te bestuderen?
 
Op deze manier kom je keer op keer vast te zitten. Het werkt alleen maar demotiverend. Maar goed, dat is mijn mening.

Het voordeel is dan wel weer, als je dit eenmaal een beetje kent, dat je dit ook kunt toepassen op het standaardmodel. Ik kan me nog goed mijn verbazing herinneren dat men enerzijds zei dat de alg.rel.theorie zo slechts valt te combineren met het standaardmodel, om er daarna achter te komen dat de wiskundige formuleringen ervan dezelfde taal gebruiken.

Je kunt deze analogie nog sterker maken door de alg.rel.theorie, net als het standaardmodel, te formuleren als een ijktheorie. Misschien iets voor in de (verre) toekomst
Maar ik zou Professor Puntje ook willen aanraden om gewoon 1 tekst te pakken en daar doorheen te gaan. Ik ben zelf erg gecharmeerd van Zee's boek, maar dat is niet zo rigoreus. Carroll's notes op het arXiv zijn denk ik uitstekend; voor mij waren ze een perfecte tussenweg tussen toepassingen en rigoriteit.

Ik ervoer zelf die twijfel onlans ook weer toen ik wat meer numerieke ondersteuning wou van Python: dan zijn er ook -tig teksten waar je uit kunt kiezen, laat staan dat ik ook nog twijfelde tussen Python en R. "Pick one and stick to it", zou ik zeggen, en gebruik fora zoals deze als je specifieke vragen hebt.

[Professor Puntje]

Ik ben nu van plan (en ben daar al mee bezig) om eerst de door Th.B gelinkte pdf drie maal vluchtig door te nemen om zo alvast een idee te krijgen van de globale opbouw van de theorie. Daarna stap ik dan over op Chen ea: Lectures on Differential Geometry voor het grondiger werk.

Aanvankelijk was mijn bedoeling om van de differentiaalmeetkunde en tensorrekening uitsluiten nog te leren wat voor een elementair begrip van de ART nodig is, maar dat blijkt op die manier voor mij kennelijk niet te werken. Het moet dus toch weer een wat ruimere studie worden.

[Professor Puntje]

Ik ben nu van plan (en ben daar al mee bezig) om eerst de door Th.B gelinkte pdf drie maal vluchtig door te nemen om zo alvast een idee te krijgen van de globale opbouw van de theorie. Daarna stap ik dan over op Chen ea: Lectures on Differential Geometry voor het grondiger werk.

Inmiddels ben ik de pdf voor de tweede maal aan het doornemen, en het verbaast me hoeveel meer ik er nu al van begrijp. Daar moet veel onbewuste verwerking aan te pas zijn gekomen. Die aanpak om niet alles bij de eerste keer al te willen begrijpen moet ik meer gebruiken. Ik weet niet meer wie mij die tip hier pas gaf, maar alsnog bedankt!

[Th.B]

Dat zo merkwaardige 'volwassen worden' in wiskunde (of wellicht ook andere takken van sport en wetenschap) is mij de laatste tijd ook steeds duidelijker geworden. Dingen die ik een jaar geleden niet begreep en nu weer oppak zijn vele malen helderder dan dat ze eerst waren. 
 
Goed om te horen dat het je nu beter afgaat!