Deel 2 Wat zijn vectoren?
Nog eens lineariteit
In de definitie van lineariteit ben ik achteloos over de definitie van homogeniteit of schaalbaarheid gegaan en hoe dit combineerbaar is met de additiviteit.
Uit deze twee regels volgt ook dat
- f(〖a.x1〗+b.x2 )=a.f(x1 )+bf(x2)
Als we nader naar definities kijken zijn er een paar zaken die we moeten opmerken:
- f ,x en a zijn verschillende objecten of wiskundig gezegd behoren zij tot verschillende verzamelingen. Hier is f een functie, x een element uit het domein van die functie En a? Dit hebben we niet gespecifieerd.
- Bovenstaande heeft tot gevolg dat de gebruikte bewerkingen +, . niet twee maar vier bewerkingen zijn. Het zou correcter zijn om de formules als hieronder te schrijven :
f(a⋅x)=a⨀f(x)
f(x1⊕x2)=f(x1)+f(x2)
- Omdat een afbeelding is kunnen bewerkingen f: AxA-> A ook lineair zijn. Als we f definiëren als f(x,y) = x⊛y krijgen we volgende formules
a⋅x⊛a⋅y=a.(x⊛y) = f((a⋅x,a⋅y)=a⋅f(x,y)
(a⊕b)x=ax⊛bx
Om deze laatste te bewijzen moeten we echter meer te weten te komen over de aard van a.
Wat is een scalair (scalar)
Net zoals bij tensoren zijn er verschillende definities in omloop over wat een scalair is. Deze definities zijn gelijklopend met de verschillende definities van zowel vectoren en tensoren. Op het einde van deze tekst moet het de lezer duidelijk zijn waarom dit zo is.
In de natuurkunde wordt een scalair meestal gedefinieerd als een grootheid die volledig wordt bepaald door een grootte en zonder richting.
Een tweede “definitie, de “praktische”, is dat een scalair een grootheid is die transformeert als een scalair namelijk zij blijft onveranderd bij een coördinatenverandering.
De wiskundige definitie is dat een scalair een element is van het onderliggende veld van een vectorruimte.
Het is deze laatste definitie die we gaan hanteren. Dit omdat dit de meest algemene definitie is en een breder toepassingsgebied heeft enerzijds en omdat de twee andere definities eigenschappen zijn of afleidbaar zijn van de derde definitie.
Om de definitie te begrijpen moeten we eerst definiëren wat een veld (lichaam) is .
Maar eerst maken we een kleine zijsprong naar bewerkingen en groepen.
Bewerkingen en structuren
Tot nu toe hebben we impliciet verondersteld te weten wat +, . zijn. We gaan dit nu formaliseren en beperken ons tot binaire bewerkingen.
Een (binaire) operatie is een afbeelding van f:X
1×X
2→Y De verzamelingen X
1 en X
2 worden het domein van de operatie genoemd. De verzameling Y heet het codomein van de operatie.
In plaats van de prefixnotatie f(a,b) wordt vaak een infixnotatie gebruikt en wordt de functie f bijvoorbeeld voorgesteld door de operator ⊛: f(a,b)=a⊛b.
Een operatie of bewerking kan verschillende eigenschappen hebben:
Geslotenheid
Als verzamelingen X
1 , X
2 en Y dezelfde verzameling G zijn, noemen we de bewerking gesloten. Concreet wil dit zeggen dat we twee elementen uit een verzameling nemen en de bewerking terug een element uit die verzameling oplevert. Een voorbeeld is de optelling van de natuurlijke getallen. De aftrekking gedefinieerd op de natuurlijke getallen is niet gesloten.
Misschien kun je eens kijken bij onze definitie van lineariteit welke bewerkingen gesloten moeten zijn en welke niet.
Een verzameling samen met een bewerking die gesloten is wordt magma genoemd.
Associativiteit
Associativiteit betekent dat wanneer je drie (of meer) elementen combineert met dezelfde binaire bewerking, de manier waarop je ze groepeert het resultaat niet verandert.
(x⊛y)⊛z=x⊛(y⊛z)=x⊛y⊛z
Zie het als groepsinvariantie: je kunt de haakjes verplaatsen zonder de uitkomst te veranderen.
Elke associatieve binaire bewerking kan herwerkt worden tot een actie of transformatie (functie) me de samenstelling als bewerking.
Definieer de (endo)functie (actie of transformatie) f_(⊛y) (x)=x⊛y dan is 〖(f〗_(⊛z)∘ f_(⊛y))(x)= f_(⊛y⊛z) (x)
Samenstelling van transformaties is equivalent aan associativiteit.( (left/right) regular representation). Een verzameling met een gesloten associatieve bewerking noemen we een semigroep.
Neutraal element
Indien een element bij de bewerking met een ander element steeds het andere element oplevert noemen we dit een neutraal element
x⊛e=x=x⊛u
Meestal wordt dit voor de optelling aangeduid met 0 en voor de vermenigvuldiging met 1
Als er een neutraal element bestaat kunnen we aantonen dat deze uniek is.
Invers element
Als er een neutraal element is kunnen we een nieuw type element definiëren.
Indien de bewerking met twee elementen het neutraal element oplevert, noemen we de elementen elkaars inversen.
x
-1⊛x=e=x⊛x
-1
Deze eigenschap moet opgaan voor alle elementen van de verzameling
De twee eigenschappen neutraal en invers element zijn de wiskundige weergave van omkeerbaarheid of reversibilitiet. Omkeerbaarheid wil immers zeggen dat we kunnen terugkeren naar de oorspronkelijke toestand nadat we een actie f hebben uitgevoerd. De actie die de oorspronkelijke toestand hersteld is de inverse van f. Aangezien acties een gesloten bewerking zijn moet ook de samenstelling bestaan. Dit is het neutraal element of de actie die niets doet en de toestand ongewijzigd laat.
Een groep
Indien een verzameling G uitgerust met een bewerking ⊛ voldoet aan deze vier eigenschappen noemen we dit een groep.
Een aandachtig lezer heeft misschien al gezien dat deze eigenschappen en de groepstructuur een wiskundige weergave zijn van de reversibiliteit of omkeerbaarheid.
Het concept groep kan je dan ook zien als een uitgepuurde abstractie van een omkeerbare samenstelling van acties (transformaties)
Immers elke bewerking kan herwerkt worden tot actie.
Definieer de functie (actie) f
(⊛y) (x)=x⊛y dan is f
(⊛z)∘ f
(⊛y))(x)= f
(⊛y⊛z) (x)
Voor de volledigheid hieronder nog eens de formele definitie van een groep
Definitie Groep:
Een groep G is een verzameling van elementen V waarop een bewerking is gedefinieerd
Deze bewerking moet voldoen aan de volgende voorwaarden:
∀ u,v en w∈G geldt:
- v⊛w ∈V V is gesloten onder de bewerking.
- (u⊛v)⊛w=u⊛(v⊛w)=u⊛v⊛w De bewerking is associatief
- ∃ e∈G zodat u+e=u=e+u Er bestaat een (uniek) eenheidselement
- ∃ v^(-1) ∈V zodatx-1⊛x=e=x⊛x-1 Elk element heeft een (uniek) inverse.
Puzzels
