sciencetalk

Bij de afleiding van onderdelen van de kwantum mechanica in verschillende tekstboeken kom ik een aantal merkwaardigheden tegen. :

- de qm-golven van een foton hebben een duidelijk fysisch karakter (EM veld). Bij de Broglie golven zou echter geen fysische realiteit aan de golven toegekend mogen worden. En dat terwijl ze zich in experimenten hetzelfde manifesteren (bv in het twee-spleten experiment).

- deze niet fysische de Broglie golven moeten toch met zichzelf intefereren om bv het waterstof atoom te verklaren (de straal van de baan wordt verklaard doordat het electron een geheel aantal golven nodig heeft omdat het anders zichzelf zou opheffen).

- Het is vanzelfsprekend dat wanneer je iets golvends als geheel beschouwd je niets kan zeggen over wat op een bepaald moment de amplitude van de golf is. Dat is mi. echter wel de manier waarop in qm Heisenberg wordt afgeleid.

- Bij de elektrische put wordt aangenomen dat de waarschijnlijkheidsgolf voor een deeltje in die put in de buurt van de wanden langzaam tot 0 nadert, waardoor alleen staande golven in die put mogelijk zouden zijn. De reden hiervoor is mij echter niet duidelijk. De waarchijnlijkheid van een deeltje lijkt mij nabij de wand evengroot als elders in deze put.

Mogelijk is de echte onderbouwing van het bovengenoemde te ingewikkeld om uitgebreid te beschrijven in beginners boeken. Vooralsnog vind ik echter de uitleg te onwaarschijnlijk om mij achter een Kopenhaagse interpretatie te kunnen scharen. Zou iemand hier wat meer over kunnen uitleggen?

Bij de Broglie golven zou echter geen fysische realiteit aan de golven toegekend mogen worden.

Wie zegt dat? De amplitude van de golffunctie heft een duidelijke fysische interpretatie (waarschijnlijkheidsdichtheid om het deeltje op de desbetreffende positie waar te nemen).

- Het is vanzelfsprekend dat wanneer je iets golvends als geheel beschouwd je niets kan zeggen over wat op een bepaald moment de amplitude van de golf is. Dat is mi. echter wel de manier waarop in qm Heisenberg wordt afgeleid.

Ik weet niet wat 'iets golvens als geheel beschouwen' wil zeggen. Men heeft geen golf-interpretatie-discussie nodig om de onzekerheidsrelaties of te leiden (dit wordt geïmpliceerd door de commutatieregels an sich). Zie bijvoorbeeld hier.

- Bij de elektrische put wordt aangenomen dat de waarschijnlijkheidsgolf voor een deeltje in die put in de buurt van de wanden langzaam tot 0 nadert, waardoor alleen staande golven in die put mogelijk zouden zijn. De reden hiervoor is mij echter niet duidelijk. De waarchijnlijkheid van een deeltje lijkt mij nabij de wand evengroot als elders in deze put.

Het gaat allicht om de oneindige potentiaalput? De randvoorwaarden volgen rechstreeks uit de Schrödingervergelijking. Indien de golffunctie niet continu is, bevat de eerste orde afgeleide een dirac functie, en kan het linkerlid van de schrödingervergelijking onmogelijk gelijk zijn aan het rechterlid. In het buitengebied volgt onmiddellijk dat enkel de nuloplossing mogelijk is.

Je heb ook nog de vele-werelden interpretatie en

de transactional interpretation.

Even een zin van het internet geplukt: (bron: Transactional interpretation - Wikipedia, the free encyclopedia)

The transactional interpretation of quantum mechanics (TIQM) describes quantum interactions in terms of a standing wave formed by retarded (forward-in-time) and advanced (backward-in-time) waves.

Persoonlijk denk ik dat de waarheid een mix is van de vele-werelden en de transactional.

Fred Alan Wolf, een natuurkundige met vele boeken, zit ook in die richting te denken...

Wie zegt dat? De amplitude van de golffunctie heft een duidelijke fysische interpretatie (waarschijnlijkheidsdichtheid om het deeltje op de desbetreffende positie waar te nemen).

Zie bijvoorbeeld hier:

Maar wat golft er dan precies? Hier komt het begrip golffunctie om de hoek kijken, Deze abstracte grootheid heeft zelf geen fysische betekenis, maar het kwadraat is evenredig ...

Ik weet niet wat 'iets golvens als geheel beschouwen' wil zeggen. Men heeft geen golf-interpretatie-discussie nodig om de onzekerheidsrelaties of te leiden (dit wordt geïmpliceerd door de commutatieregels an sich). Zie bijvoorbeeld hier.

Ik snap niet precies wat je bedoelt: het gaat juist om het afleiden van de commutatieregels, niet om de consequenties daarvan.

Dit

The only kind of wave with a definite position is concentrated at one point, and such a wave has an indefinite wavelength. Conversely, the only kind of wave with a definite wavelength is an infinite regular periodic oscillation over all space, which has no definite position. So in quantum mechanics, there are no states which describe a particle with both a definite position and a definite momentum. The narrower the probability distribution is for the position, the wider it is in momentum

is de onderbouwing die ik in veel tekstboeken tegenkom. Dezefde redenering kan je volgens mij ook op een slinger toepassen. Maar als ik de slinger wat langer volg kan ik gemakkelijk zijn positie en momentum in de tijd voorspellen. Maar wellicht maak ik een denkfout?

Het gaat allicht om de oneindige potentiaalput?

Ja, de minicursus noemt dit de elektrische put

De randvoorwaarden volgen rechstreeks uit de Schrödingervergelijking. Indien de golffunctie niet continu is, bevat de eerste orde afgeleide een dirac functie, en kan het linkerlid van de schrödingervergelijking onmogelijk gelijk zijn aan het rechterlid. In het buitengebied volgt onmiddellijk dat enkel de nuloplossing mogelijk is.

Misschien begrijp ik je ook hier niet, maar de nuloplossing in het buitengebied betwist ik niet. Het gaat om het binnengebeid waar de eerste orde waarschijnlijkheids curve wordt getekend als 0 bij de wanden, en boogvormig oplopend tot het midden. Ik snap niet waarom de kans om het deeltje nabij de wanden aan te treffen kleiner zou zijn dan in het midden.

... en de transactional interpretation.

Die vind ik wel interessant. Het komt een beetje overeen met het artikel dat ik hier vemeld heb. Ik vraag mij af waarom Yau deze term niet noemt.

zie bijvoorbeeld hier.

Je interpretatie van wat geschreven wordt is opmerkelijk. De golffunctie heeft een duidelijke fysische interpretatie: het kwadraat van de amplitude (niet van de golffunctie zelf zoals natuurkunde.nl beweert) levert de waarschijnlijkheidsdichtheid. De (relatieve) fase heeft zoals je zegt zijn belang bij interferentie. De golffunctie is in die zin niet minder fysisch dan om het even welke wiskundige representatie van fysica (bijvoorbeeld: de elektrische potentiaal is een abstractie om het elektrische veld te bestuderen, het elektrische veld is een abstractie om de lorentzkracht te bestuderen, ...).

Ik snap niet precies wat je bedoelt: het gaat juist om het afleiden van de commutatieregels, niet om de consequenties daarvan.

De commutatieregels voor positie en momentum bevinden zich in de postulaten, niet in de gevolgen. Tenminste, in de behandeling zoals ze door de band wordt gegeven.

Maar als ik de slinger wat langer volg kan ik gemakkelijk zijn positie en momentum in de tijd voorspellen. Maar wellicht maak ik een denkfout?

Een golffunctie is geen specificatie x als functie van de tijd, bij een slinger is dat wel. Als je de waarschijnlijkheidsdichtheden van de klassieke slinger beschrijft, dan bekijk je voor zowel positie als momentum een delta distributie (beide zijn op elk moment gekend). Kwantummechanica beweert dat zoiets onmogelijk is (maar dat het voor de klassieke slinger een zeer goede benadering is). Maar, uiteraard, (het wiskundige systeem dat correspondeert met) de klassieke slinger is een voorbeeld van een systeem dat niet kwantummechanisch is, en waar de kwantummechanische wetten dus niet geldig zijn (omdat de klassieke slinger slechts een benadering is van de correcte, kwantummechanische, wetten).

Misschien begrijp ik je ook hier niet, maar de nuloplossing in het buitengebied betwist ik niet.

Als je het eens bent dat in het buitengebied enkel de nuloplossing bestaat, en als je het ook eens bent dat de golffunctie continu moet zijn, dan ben je het eens dat de golffunctie 0 is op de wanden. De 'boogvorm' is gewoon (het kwadraat van) een sinusoïde, dat volgt onmiddellijk uit de Schrödingervergelijking.

edit: Het stoort me mateloos dat in elke post die Schwartz maakt reclame gemaakt moet worden voor Fred Alan Wolf. Ik wijs je er graag op dat er een reden is dat hij niet publiceert in peer-reviewed tijdschriften.

Als je in een tekst bezig bent te beschrijven hoe men tot verschillende qm postulaten is gekomen, kan je die postulaten natuurlijk niet gebruiken om je betoog te onderbouwen. Je kan geen postulaat van Heisenberg gebruiken om aan te tonen dat dat postulaat aannemelijk is. Je kan niet uitgaan van een stochastische interpretatie van de de Broglie golven om aan te tonen dat deze als waarschijnlijkheidsgolven geinterpreteerd moeten worden.

Je interpretatie van wat geschreven wordt is opmerkelijk. De golffunctie heeft een duidelijke fysische interpretatie: het kwadraat van de amplitude (niet van de golffunctie zelf zoals natuurkunde.nl beweert) levert de waarschijnlijkheidsdichtheid. De (relatieve) fase heeft zoals je zegt zijn belang bij interferentie. De golffunctie is in die zin niet minder fysisch dan om het even welke wiskundige representatie van fysica (bijvoorbeeld: de elektrische potentiaal is een abstractie om het elektrische veld te bestuderen, het elektrische veld is een abstractie om de lorentzkracht te bestuderen, ...).

Je stapt hier mi. te makkelijk over de opmerking op natuurkunde.nl heen. Van het EM veld zou nooit expliciet beweerd worden dat dit geen fysische betekenis heeft. Het parallele citaat in mijn boek luidt:

But the question arises 'What is varying in a de broglie wave? For light, which is an electromagnetic wave, it is the electric and magnetic fields that are varying with time and position. ... The answer is that the wave itself does not correspond to a measurable physical quantity'

De commutatieregels voor positie en momentum bevinden zich in de postulaten, niet in de gevolgen. Tenminste, in de behandeling zoals ze door de band wordt gegeven.

Zie mijn inleidende opmerking

Een golffunctie is geen specificatie x als functie van de tijd, bij een slinger is dat wel. Als je de waarschijnlijkheidsdichtheden van de klassieke slinger beschrijft, dan bekijk je voor zowel positie als momentum een delta distributie (beide zijn op elk moment gekend). Kwantummechanica beweert dat zoiets onmogelijk is (maar dat het voor de klassieke slinger een zeer goede benadering is). Maar, uiteraard, (het wiskundige systeem dat correspondeert met) de klassieke slinger is een voorbeeld van een systeem dat niet kwantummechanisch is, en waar de kwantummechanische wetten dus niet geldig zijn (omdat de klassieke slinger slechts een benadering is van de correcte, kwantummechanische, wetten).

Zie ook mijn inleidende opmerking. Ik wil juist weten waarom men niet tot een deterministische interpretatie van de qm golven komt.

Als je het eens bent dat in het buitengebied enkel de nuloplossing bestaat, en als je het ook eens bent dat de golffunctie continu moet zijn, dan ben je het eens dat de golffunctie 0 is op de wanden. De 'boogvorm' is gewoon (het kwadraat van) een sinusoïde, dat volgt onmiddellijk uit de Schrödingervergelijking.

Zie ook mijn inleidende opmerking. De elektrische put wordt ook als onderbouwing van de Schrödingervergelijking gebruikt (alhoewel niet helemaal duidelijk is op welke manier de relatie wordt gelegd. De formule komt een beetje uit de lucht vallen).

Overigens moet bij deze put het EM veld ook continu zijn, maar is deze voor deze geidealiseerde situatie discontinu gemaakt. De boogvorm is dus niet automatisch af te leiden uit het feit dat de golffunctie continu moet zijn.

Een ander beeld: Wanneer een bal tussen twee muren heen en weer kaatst, dan heeft de waarschijnlijkheidsfunctie tussen de muren overal een even hoge amplitude.

Kwantummechanica is er niet gekomen omdat daar filosofische voorkeuren voor waren. De postulaten volgen uit experimenten. Ik weet niet welk boek je bestudeert, maar indien het er niet in slaagt je dit duidelijk te maken heb je er een ander nodig.

Toch nog twee inhoudelijke opmerking. Ik moet nog het eerste natuurkundeboek lezen waarin beweerd wordt dat de elektrische potentiaal een meetbare grootheid is. Ook moet ik nog het eerste natuurkundeboek tegenkomen waarin de wordt beweerd dat geen fysische realiteit aan de elektrische potentiaal mag toegekend worden. En als men er dan al voor kiest om het zo te zeggen, dan is de betekenis daarvan geenszins dat er geen fysische conclusies zijn te trekken uit de potentiaal.

De Schrödingervergelijking, of in het algemeen de Wheeler-DeWitt vergelijking, is niets meer dan het opleggen van de klassieke constraints als een operatorvergelijking. Dat is de meest natuurlijke overgang, eens men gelooft dat operatoren moeten geässocieerd worden aan observabelen. Hoewel dat, naar mijn weten, de meest overtuigende overgang is, zijn er heel wat eenvoudige opmerkingen te maken. Zie bijvoorbeeld wikipedia. Dat men eerst de potentiaalput bespreekt en daaruit de Schrödingervergelijking afleidt lijkt mij inderdaad een zeer bijzondere aanpak, op dat punt geef ik je (op het eerste zicht) gelijk.

Ik hoop dat het duidelijk is dat ik niet de kwantum mechanica ter discussie stel, maar dat ik in de onderbouwing een aantal punten niet snap, die ik in de openings post heb opgesomd

Met betrekking tot de de Broglie golven (De bron van het citaat over de fysische realiteit van de de Broglie golven is Unit 14 Quantum mechanics van John Walters voor The Open University, Engeland) heb ik gezegd dat ik dit deel van het verhaal merkwaardig vind (nog een keer schematisch):

De elektromagnetische golven zijn helemaal geen waarschijnlijkheidsgolf voor het foton. Ze beschrijven het elektrische veld en het magnetische veld op een gegeven plaats, het kwadraat daarvan (als je dat definieert zoals ik vermoed dat je dat doet) geeft de energie van het elektrische veld, niet de waarschijnlijkheidsdichtheid van het deeltje.

Ook hier vraag ik me af of je dit uit het QM boek hebt geleerd. Indien ja, sugereer ik echt om over te stappen naar een ander boek. Als je het goed wil doen, Sakurai; als je het aangenaam wil houden Bransden & Joachain.

ok, dat kan het antwoord zijn op het genoemde probleem. In een soortgelijke discussie wordt hier gezegd dat in (zeer) grove benadering de EM golven overeen komen met de waarschijnlijkheid golven voor het foton in kwantum mechanica, maar dat men eigenlijk de relatie hiertussen niet goed begrijpt. Klopt dat?

De boeken/artikelen die ik lees suggeren (met een citaat als eerder genoemd) het hierboven geschetste schema. Ik ben op internet nog geen stukken tegen gekomen die dieper op deze vraag ingaan. Ik heb een uitgebreider boek van Griffits (Introduction to quantum mechanics) maar ook hierin wordt deze vraag niet behandeld.

ps: de suggestie is niet zo vreemd, maar wordt blijkbaar niet algemeen aanvaard:

Although this similarity might suggest that Maxwell's equations are simply Schrödinger's equation for photons, most physicists do not agree

Wat natuurlijk iets heel anders is, is de situatie waarbij men het elektromagnetische veld kwantummechanisch gaat beschrijven. Daar waar de meest eenvoudige kwantummechanica gaat over een systeem met eindig aantal vrijheidsgraden (bijvoorbeeld de positie x), gaat het hier over een oneindig aantal vrijheidsgraden (een veld E(x), dus heel ruwweg een waarde op elke plaats). Het is dan dat fotonen op de proppen komen. Het is niet zo eenvoudig om in 10 zinnen uit te leggen wat fotonen precies zijn, en ik meen dat men soms veel te los omspringt met de betekenis van het begrip foton. Alleszins moet je bedenken dat hier E(x), net zoals x in het eindige systeem niet oneindig nauwkeurig bepaald is. Indien je hierop nauwkeurig wil doorgaan is er het boek van Zee (QFT in a nutshell), of misschien nog beter dat van Weinberg (the quantum theory of fields), of misschien is Greiner (quantum mechanics: special chapters) wel voldoende (vergt minder voorkennis). Dat doen gaat inderdaad veel verder dan Griffits, maar het is zoals ik probeer duidelijk te maken niet nodig voor een begrip van elementaire kwantummechanica.

Dit

The probability for a photon to be in a particular polarization state depends on the fields as calculated by the classical Maxwell's equations. The state of the photon is proportional to the field. The probability itself is quadratic in the fields and consequently is also quadratic in the quantum state of the photon

lijkt het eerder genoemde schema (evenredigheid van EM^2 met de waarschijnlijkheidsgolf voor het foton) wel te onderschrijven, of lees ik dat helemaal verkeerd?