1 van 1
Integraalbewijs
Geplaatst: zo 15 mar 2009, 12:08
door dirkwb
Als f een begrensde, niet-negatieve functie is, bewijs dan dat er geldt:
\( \int_0^{\infty} f \left( x + \frac{1}{x} \right) \frac{ \ln(x)}{x}\ \mbox{d}x = 0 \)
Moet ik dit via partiële integratie doen? Kan iemand me op weg helpen?
Re: Integraalbewijs
Geplaatst: zo 15 mar 2009, 12:27
door PeterPan
Wat me direkt opvalt is dat als je substitueert
\(u=\frac{1}{x}\)
je dezelfde integraal krijgt.
De vraag is, wat betekent dat?
Re: Integraalbewijs
Geplaatst: zo 15 mar 2009, 12:35
door Bart
Wat me direkt opvalt is dat als je substitueert
\(u=\frac{1}{x}\)
je dezelfde integraal krijgt.
Hoe dan?
Re: Integraalbewijs
Geplaatst: zo 15 mar 2009, 12:41
door dirkwb
Hoe dan?
Ik heb ook mijn twijfels, ik krijg namelijk omgekeerde grenzen, klopt dat Peterpan?
Re: Integraalbewijs
Geplaatst: zo 15 mar 2009, 14:04
door PeterPan
Soit, plus of min. Het gaat om de vraag, wat betekent dat?
Een beetje sleutelen met de grenzen!
Re: Integraalbewijs
Geplaatst: zo 15 mar 2009, 14:18
door PeterPan
Kortom
\(\int_0^{\infty} = -\int_0^{\infty}\)
.
Andere manier:
\(\int_1^{\infty} = -\int_0^{1}\)
.
Re: Integraalbewijs
Geplaatst: zo 15 mar 2009, 14:52
door dirkwb
Er geldt dus:
\( \int_0^{\infty} f \left( x + \frac{1}{x} \right) \frac{ \ln(x)}{x}\ \mbox{d}x = -\int_0^{\infty} f \left( x + \frac{1}{x} \right) \frac{ \ln(x)}{x}\ \mbox{d}x\)
en dat kan alleen als er geldt:
\(\int_0^{\infty} f \left( x + \frac{1}{x} \right) \frac{ \ln(x)}{x}\ \mbox{d}x=0\)
met f begrensd en niet-negatief.
Is dit correct?
Re: Integraalbewijs
Geplaatst: zo 15 mar 2009, 15:24
door PeterPan
Het niet negatief zijn is onbelangrijk. Het begrensd zijn wel, omdat de intergrand anders niet Riemann-integreerbaar is op elk eindig segment.