2 mensen op dezelfde dag jarig

[Jort]

Hallo allemaal,

laatst hoorde ik dat de kans dat 2 mensen uit een groep van 23 op dezelfde dag jarig zijn, gelijk is aan 1/2.

Nu dacht ik dit zelf te kunnen narekenen met de binomiale verdeelde kans:

P=1/365, n=23 en k=2 dus: (1/365)^2 * 9364/365)^21 * (23 nCr 2) (23 boven 2).

Echter, er komt niet 0.5 uit...

Wie weet wel de methode? Ik ben nl geen held in kansrekening.

[Rogier]

De kans dat alle n personen op verschillende dagen jarig zijn, is:

1 364/365 363/365 ... (365-n+1)/365

= 365! / ( (365-n)! 365ⁿ )

Voor n 23 is deze kans minder dan 1/2.

Het is trouwens geen binomiale kansverdeling he, er is hier geen sprake van 23 dingen met ieder slechts 2 uitkomsten en een "succeskans" van 1/365.

[Jort]

Nu je het zegt, inderdaad.

Hoewel ik snel geneigd was te denken: je kiest een persoon. Dan zijn er voor de volgende persoon die je kiest twee mogelijkheden: of hij is op de zelfde dag jarig, of niet...

[Anonymous]

Maar de kans dat die gekozen persoon jarig is is kleiner dan de kans dat die gekozen persoon niet jarig is.

[Jort]

Zeker, dat zou dan een succeskans van 1/365 zijn...Maar dat zou niet moeten uitmaken.

[Rogier]

Bij de eerste persoon is geen sprake van een succeskans, bij de tweede persoon is die kans 1/365, bij de derde 2/365 (tenzij de tweede al een succes was), bij de vierde... enzovoort.

Binomiaal is als ze alle n dezelfde (onafhankelijke) kans hebben.

Je moet dit meer zien als n dobbelstenen die je gooit, alleen met 365 i.p.v. 6 zijden. En wat is dan de kans dat je [grotergelijk]2 dezelfde gooit.

[Pollop XXIII]

De kans dat 2 mensen op dezelfde dag jarig zijn is 1/(365²)

Het aantal verschillende koppels dat gevormd kan worden in een klas met 23 mensen is (x²-x)/2 = 253

Dus krijgen we de kans dat 2 mensen uit een klas met 23 lln op dezelfde dag jarig zijn=253/(365²)

de kans 1 op 527

Juist? Ik weet totaal niet wat binomiaal betekent, maar volgens mij gaat het op deze manier ook.

[Rogier]

De kans dat 2 mensen op dezelfde dag jarig zijn is 1/(365²)

Nee, dat is de kans dat ze allebei precies op één specifieke dag (bijvoorbeeld 14 maart) jarig zijn

Het aantal verschillende koppels dat gevormd kan worden in een klas met 23 mensen is (x²-x)/2 = 253  

Dus krijgen we de kans dat 2 mensen uit een klas met 23 lln op dezelfde dag jarig zijn=253/(365²)  

de kans    1 op 527

Maar pas op, die 253 mogelijke tweetallen hebben niet allemaal een onafhankelijke kans om op dezelfde dag jarig te zijn. Als A en B op dezelfde dag jarig zijn, en B en C niet, dan A en C ook niet.

Bovendien moet je goed opletten in welke gebeurtenis je eigenlijk geïnteresseerd bent. Dat er "2 mensen op dezelfde dag jarig zijn", betekent dat:

- dat er precies 2 mensen op dezelfde dag jarig zijn, en alle anderen allemaal op verschillende dagen

of

- dat er minstens één tweetal mensen is dat op dezelfde dag jarig is, maar er mogen ook nog best twee andere mensen ook een overeenkomstige verjaardag hebben

of

- dat er minstens twee mensen op dezelfde dag jarig zijn, maar er mogen ook best nog meer mensen op die dag jarig zijn

enzovoort...

Mij lijkt het meest logische dat je eronder verstaat dat ze niet alle 23 op verschillende dagen jarig zijn. En die kans is groter dan 50%.

Juist? Ik weet totaal niet wat binomiaal betekent, maar volgens mij gaat het op deze manier ook.

Binomiaal is gewoon het n maal herhalen van een experiment dat kan slagen of falen (binaire uitkomst: ja of nee). En het experiment dat je steeds herhaalt moet telkens dezelfde succeskans "p" hebben en onafhankelijk zijn. Bijvoorbeeld 10 keer een munt gooien, dat is typisch binomiaal verdeeld. Of twaalf keer een knikker uit een vaas pakken (met terugleggen) waarvan je weet dat er 17 rode en 13 groene knikkers in zitten.

[Anonymous]

de formule om uit te rekenen wat de kans is dat er uit een willekeurige groep 2 of meer op dezelfde dag jarig zijn is:

P= 1-(365nPr M/(365)^M

waarbij het aantal mensen is gegeven door de letter M

Bij een groep van dertig personen is de kans dat er twee op dezelfde dag jarig zijn al zo'n 70%

[Revelation]

Aangezien ik niet geheel bekend ben met wiskundige notaties, kan dit zo geschreven worden?

\(1 - \prod_{a=0}^{22} {(365 - a)\over 365}\)

[dr. E. Noether]

Ook wel aardig is om dit met voorwaardelijke kansen aan te pakken (dikwijls worden dergelijke puzzeltjes door toepassing van voorwaardelijke kansen supersimpel). Definieer gebeurtenis Xn := ''de n personen zijn op een verschillende dag jarig'' en Yn := ''persoon n is op een andere dag jarig dan de n-1 personen aan wie je het eerder vroeg''. Dan is de gebeurtenis Xn een doorsnijding van twee gebeurenissen, namelijk Xn = Yn Xn-1, dus P(Xn) = P(Yn Xn-1) = P(Yn | Xn-1)*P(Xn-1). Nu kun je Xn-1 weer uitdrukken in gebeurtenis Xn-2, en Xn-2 in Xn-3, etc. Er ontstaat zo een productketting welke enkel bestaat uit de kansen

P(Yi | Xi-1) met P(Yi | Xi-1) = 1 - (i-1)/365, zodat:

\( P(X_n) = \prod_{i=1}^{n-1} \left( 1 - \frac{i}{365} \right) = \prod_{i=0}^{n-1} \frac{(365 - i)}{365} \)

,

dus de kans dat er twee of meer op dezelfde dag jarig zijn is 1 - P(Xn) =

\( 1 - \prod_{i=0}^{n-1} \frac{(365 - i)}{365}\)

.

Dus ja, Revelation, je hebt dat keurig gedaan!

[r1kk1m]

Bedankt, ik had het correct maar zocht gewoon een korte manier om het in te toetsen in een rekenmachine die "sum en product" niet kent. De manier van Rogier is daar handig voor .