Integreren voor beginners

[Axel van de Graaf]

Voor wie integreren voor gevorderden nog te moeilijk is

\(\int e^{\sqrt{x}} dx \)

\(\int \frac{x² dx}{\sqrt{49-x²}} \)

[Klintersaas]

\(\int e^{\sqrt{x}} dx \)

Eerst de 49 buiten brengen en vervolgens substitutie

\(t = \frac{1}{7}x\)

:

\(I = 49 \int \frac{t^2}{\sqrt{1-t^2}}\mbox{d}t\)

Substitutie

\(t = \sin(u)\)

:

\(I = 49 \int \frac{\sin^2(u)\cos(u)}{\sqrt{1-\sin^2(u)}}\mbox{d}u = 49 \int \sin^2(u)\mbox{d}u = \frac{49}{2}(u - \sin(u)\cos(u)) + C \)

Substituties één voor één ongedaan maken:

\(I = \frac{49}{2}(\arcsin(t) - t\sqrt{1-t^2}) + C = \frac{49}{2}\left(\arcsin\left(\frac17x\right) - \frac17x\sqrt{1-\frac{1}{49}x^2}\right) + C\)

Die laatste kan mogelijk wat korter, maar ik schud deze oplossingen ook zo maar even tussendoor uit mijn mouw.

[Klintersaas]

EDIT: Iets elegantere schrijfwijze voor de laatste:

\(I = \frac{49}{2}\arcsin\left(\frac17x\right) - \frac12x\sqrt{49-x^2} + C\)

[Axel van de Graaf]

Substitutie

\(t^2 = \sqrt{x}\)

:[/b]

\(I = 2\int te^t\mbox{d}t\)

Ik vermoed dat je

\(t^2 = x\)

bedoelt?

[Klintersaas]

Uiteraard.

[Axel van de Graaf]

\( \int (x³-1)^{50} x^8 dx \)

edit: er wordt uiteraard een korte oplossing verwacht

[jhnbk]

Ik ga het niet uitwerken aangezien het het minder gevorderde topic is maar ik meen dat partiële integratie te kortste methode zal geven.

[Axel van de Graaf]

Ik ga het niet uitwerken aangezien het het minder gevorderde topic is maar ik meen dat partiële integratie te kortste methode zal geven.

Je bedoelt partieel integreren tot x^8 weg is? Nee, het kan korter.

[jhnbk]

Je bedoelt partieel integreren tot x^8 weg is? Nee, het kan korter.

Neen dat bedoel ik uiteraard niet.

Het kan zie ik hier met 2x partiële integratie en 1x substitutie.

[Axel van de Graaf]

Neen dat bedoel ik uiteraard niet.

Het kan zie ik hier met 2x partiële integratie en 1x substitutie.

Met één substitutie zou je genoeg moeten hebben. (zonder partiële integraties)

[Drieske]

Substitutie van x³-1 = t, dan is 3x² dx = dt en

\(x^6 = (t+1)^2=t^2+2t+1\)

en nu heb je een eenvoudige veelterm om te integreren

Nl

\(\int \frac{t^{52}+2 t^{51} + t^{50}}{3} dt\)

[dirkwb]

Met

\( u= x^3-1 \)

\( \frac{1}{3}\ \mbox{d}u = x^2\ \mbox{d}x\)

volgt er:

\( \frac{1}{3} \cdot \int u(u+1)^2 \mbox{d}u = ...\)

Een nieuwe: los op zonder breuksplitsen:

\( \int \frac{1}{x^7-x}\ \mbox{d}x \)

[Klintersaas]

Een nieuwe: los op zonder breuksplitsen:

\( \int \frac{1}{x^7-x}\ \mbox{d}x \)

Nu heb ik niet zoveel tijd, dus straks zal ik de uitwerking posten, maar het lijkt me dat je er komt met de substitutie

\(x = \frac1t\)

.

[Klintersaas]

Dus, zoals gezegd: substitutie

\(x = \frac1t \qquad \mbox{d}x = \frac{-1}{t^2}\mbox{d}t\)

:

\(I = -\int \frac{1}{\frac{1}{t^7} - \frac{1}{t}}\cdot\frac{1}{t^2}\mbox{d}t = -\int \frac{1}{\frac{1-t^6}{t^5}}\mbox{d}t = -\int \frac{t^5}{1-t^6}\mbox{d}t\)

Substitutie

\(1-t^6 = u \qquad -6t^5\mbox{d}t = \mbox{d}u \Leftrightarrow t^5\mbox{d}t = \frac{-\mbox{d}u}{6}\)

\(I = \frac16\int \frac{\mbox{d}u}{u} = \frac16\ln|u| + C = \frac16\ln\left|1 - \frac{1}{x^6}\right| + C\)

[dirkwb]

Correct, je mag een nieuwe plaatsen.