0,99999=1 ?

[rodeo.be]

interessante discussie hier:

http://nl.wikipedia.org/wiki/Overleg:0%2C9...999999..._%3D_1

blijkbaar is mijn eerste bewijs niet juist

[Rifleman]

0,9999999... is geen 1, maar als je het afrond op geen decimalen, dan is het wel 1...

zo raken de lijnen van de grafiek van 1/X nooit de assen.. 1 is dan de a-symtoot (op den duur raakt de lijn de as NET NIET)

[TD]

Ik heb het niet helemaal doorgelezen maar m.i. komt het erop neer dat je het correct moet schrijven en dat je duidelijk moet zijn over wat je bedoelt.

Erg wiskundig is "0.999..." overigens niet, al zijn er wel notaties in gebruik om een oneindig repeterende breuk te noteren (repeterend gedeelte overlijnen bvb).

Als je met "0.999..." een oneindig aantal negens bedoelt, dan is het correct om over te gaan op de limietnotatie en die is wel degenlijk gelijk aan 1.

Intuïtief kan je ook argumenteren dat een oneindig repeterend decimaal getal altijd te schrijven is als breuk van 2 gehele getallen. Dan heb je niet alleen met 1/3 (0.3~), 2/3 (0.6~) enz maar met elk rationaal getal, dus ook 0.9~ - hetgeen dan niet veel anders kan zijn dan 1 dacht ik zo...

[rodeo.be]

0,9999999... is geen 1, maar als je het afrond op geen decimalen, dan is het wel 1...

zo raken de lijnen van de grafiek van 1/X nooit de assen.. 1 is dan de a-symtoot (op den duur raakt de lijn de as NET NIET)  

FOUT

[TD]

0,9999999... is geen 1, maar als je het afrond op geen decimalen, dan is het wel 1...

zo raken de lijnen van de grafiek van 1/X nooit de assen.. 1 is dan de a-symtoot (op den duur raakt de lijn de as NET NIET)  

Het is hier geen kwestie van afronden, maar van oneindigheden en dus limietovergangen.

[rodeo.be]

Waarom is dit bewijs dan verkeerd:

Zij x=0,9999..., dan 10x = 9,9999.... Hieruit volgt dat9x = 10x-x = 9,99999... - 0,99999... = 9, oftewel x=1. □

[Rifleman]

nou dan heb ik het dus toch echt fout geleerd hoor

[Kris Hauchecorne]

Ik dacht dat het over een limiet ging: die is wel degelijk gewoon gelijk aan 1, er staat verder op die pagine trouwens een alternatieve manier van berekenen met een reeks.

Als je schrijft 0,999... en je bedoelt oneindig veel negens, dan bedoel je eigenlijk de limiet, die is 1.

[TD]

Waarom is dit bewijs dan verkeerd:

Zij x=0,9999..., dan 10x = 9,9999.... Hieruit volgt dat9x = 10x-x = 9,99999... - 0,99999... = 9, oftewel x=1. □

Volgens mij is dit niet, zoals op die site wordt gesuggereerd, dat er een 9 is 'bijgekomen', je werkt hier immers met het concept oneindig.

Het is wel zo dat het rekenen met oneindigheden niet zo eenduidig gedefinieerd is, althans niet als je zo'n 'semi-wiskundige' notatie handhaaft.

Als je over gaat op limieten kan je er wel wiskundig correct mee werken, maar op deze manier is het nogal dubieus. Intuitief maakt het natuurlijk wel veel duidelijk, het lijkt me alleen niet volledig correct qua notatie zo.

nou dan heb ik het dus toch echt fout geleerd hoor  

Wat je zegt klopt, gedeeltelijk. Als je zo'n functie zou plotten dan is 1 een horizontale asymptoot en de kromme zal die nooit 'raken'. Echter, we stoppen hier niet bij een of andere waarde voor x, maar we nemen de limiet (het aantal 9's naar oneindig).

Zo zal 1/n ook nooit '0 worden', hoe groot je n ook neemt, maar als je de limiet neemt voor n -> oneindig, dan is dat gelijk aan 0 (en niet naderend naar)

Ik dacht dat het over een limiet ging: die is wel degelijk gewoon gelijk aan 1, er staat verder op die pagine trouwens een alternatieve manier van berekenen met een reeks.

Als je schrijft 0,999... en je bedoelt oneindig veel negens, dan bedoel je eigenlijk de limiet, die is 1.

Klopt, die reeks is de meer correcte mathematische vertaling van wat wij bedoelen met '0.999...', en die limiet is inderdaad gelijk aan 1.

[Moustaffa]

0,9999999... is geen 1, maar als je het afrond op geen decimalen, dan is het wel 1...

zo raken de lijnen van de grafiek van 1/X nooit de assen.. 1 is dan de a-symtoot (op den duur raakt de lijn de as NET NIET)  

0 is toch de asymptoot bij grafiek 1/x..?

[Iwerke]

0,9999999... is geen 1, maar als je het afrond op geen decimalen, dan is het wel 1...

zo raken de lijnen van de grafiek van 1/X nooit de assen.. 1 is dan de a-symtoot (op den duur raakt de lijn de as NET NIET)  

0 is toch de asymptoot bij grafiek 1/x..?

ja dacht ik ook

[TD]

Dat klopt, vermits 0 een pool is van die functie (nulpunt van de noemer).

[Anonymous]

1=1

3*1/3=1

3*0,33333333333...=1

0.9999999999...=1

[Sjoerdiosie]

hier is al eens een topic over geopend (door mij). Dat is dit topic

[Elmo]

Precies. S.V.P. daar dus verder, want dit topic is op slot.