1 van 3
Orde van lipschitz continu
Geplaatst: zo 31 mei 2009, 10:45
door dirkwb
1. Let 0 < a < b <= 1. Prove that the set of all Lipschitz functions of order
b is contained in the set of all Lipschitz functions of order a.
2. Is the set of all Lipschitz functions of order b a closed subspace of those
of order a?
Definitie orde van Lipschitz continuïteit
A function f: [a,b] -> R is Lipschitz of order a if there exists a constant K such that |f(x) - f(y)| <= K |x-y|^a and for all x,y in [a,b].
Voor 1 heb ik:
\( |f(x) -f(y)|<K|x-y|^b =K |x-y|^{b-a}|x-y|^a\)
\( |x-y| \leq |x|+|y| \leq 2b\leq 2 \)
en omdat
\(|b-a|\leq 1\)
geldt er dus
\( |x-y|^{b-a} \leq 2 \)
Conclusie
\(|f(x)-f(y)| <2K|x-y| <C|x-y|^a \)
Is dit correct?
Re: Orde van lipschitz continu
Geplaatst: zo 31 mei 2009, 12:01
door yoralin
Oppassen met de notatie : bij de orde a en b en het interval [a,b] gaat 't niet over dezelfde a en b !
De gedachtengang is juist, maar de afschatting voor |x-y| op een interval [x0,y0] moet aangepast worden.
Re: Orde van lipschitz continu
Geplaatst: zo 31 mei 2009, 13:16
door PeterPan
Door de verwarring met a'tjes en b'tjes is het niet te volgen.
De stelling is triviaal of, daar de vragensteller daar anders over denkt:
\((x,y)\mapsto |x-y|^{b-a}\)
is continu op het compacte deel
\([a?,b?]\times[a?,b?]\)
, dus begrensd.
Re: Orde van lipschitz continu
Geplaatst: zo 31 mei 2009, 16:41
door dirkwb
Oppassen met de notatie : bij de orde a en b en het interval [a,b] gaat 't niet over dezelfde a en b !
Dus eigenlijk is de opgave verkeerd geformuleerd, toch?
\((x,y)\mapsto |x-y|^{b-a}\)
is continu op het compacte deel
\([a?,b?]\times[a?,b?]\)
, dus begrensd.
Gaat dit over opgave 2?
Re: Orde van lipschitz continu
Geplaatst: zo 31 mei 2009, 17:05
door yoralin
Dus eigenlijk is de opgave verkeerd geformuleerd, toch?
Door de definitie is 't verwarrend; geef in de definitie de grenzen van het interval een andere naam.
Gaat dit over opgave 2?
Neen; in 1. moet je een bovengrens vinden voor |x-y|
b-a. PeterPan lost 't op via 'continue functie op een compact is begrend', dus er bestaat een bovengrens M. Je kan ook expliciet bvb. M = (lengte v/h interval)
b-a voorstellen.
Re: Orde van lipschitz continu
Geplaatst: ma 01 jun 2009, 15:22
door Phys
Dus eigenlijk is de opgave verkeerd geformuleerd, toch?
Nee, want de definitie van Lipschitz-continuïteit staat los van opgaves. De a en b in de definitie hebben geen specifieke betekenis (kunnen vervangen worden door willekeurige letters), terwijl a en b in je opgave een gespecificeerde waarde hebben gekregen.
Re: Orde van lipschitz continu
Geplaatst: ma 01 jun 2009, 19:46
door PeterPan
dirkwb schreef:
Definitie orde van Lipschitz continuïteit
A function f: [a,b] -> R is Lipschitz of order a if there exists a constant K such that |f(x) - f(y)| <= K |x-y|^a and for all x,y in [a,b].
Re: Orde van lipschitz continu
Geplaatst: ma 01 jun 2009, 19:55
door Phys
Laten we daarvan maken:
Definitie orde van Lipschitz continuïteit
A function
\(f: [p,q]\to\rr\)
is Lipschitz of order
\(c\)
if there exists a constant
\(K\)
such that
\(|f(x) - f(y)| \leq K |x-y|^c\)
and for all
\(x,y\in [p,q]\)
.
Met vragen:
1. Let 0 < a < b <= 1. Prove that the set of all Lipschitz functions of order
b is contained in the set of all Lipschitz functions of order a.
2. Is the set of all Lipschitz functions of order b a closed subspace of those
of order a?
Re: Orde van lipschitz continu
Geplaatst: di 02 jun 2009, 19:30
door dirkwb
Phys schreef:Laten we daarvan maken:
Definitie orde van Lipschitz continuïteit
A function
\(f: [p,q]\to\rr\)
is Lipschitz of order
\(c\)
if there exists a constant
\(K\)
such that
\(|f(x) - f(y)| \leq K |x-y|^c\)
and for all
\(x,y\in [p,q]\)
.
Prima.
Met vragen:
1. Let 0 < a < b <= 1. Prove that the set of all Lipschitz functions of order
b is contained in the set of all Lipschitz functions of order a.
\( |f(x) -f(y)|<K|x-y|^b =K |x-y|^{b-a}|x-y|^a\)
\( |x-y| \leq |x|+|y| \leq 2q \)
en omdat
\(|b-a|\leq 1\)
geldt er dus
\( |x-y|^{b-a} \leq 2q \)
Conclusie
\(|f(x)-f(y)| <2q|x-y|^a <C|x-y|^a \)
Re: Orde van lipschitz continu
Geplaatst: di 02 jun 2009, 19:39
door PeterPan
Helaas fout =D>
Re: Orde van lipschitz continu
Geplaatst: di 02 jun 2009, 19:45
door dirkwb
Wat klopt er niet?
Re: Orde van lipschitz continu
Geplaatst: di 02 jun 2009, 20:17
door yoralin
1) |x|+|y| <= 2q
2) |x-y|b-a <= 2q
Re: Orde van lipschitz continu
Geplaatst: di 02 jun 2009, 20:22
door dirkwb
1) |x|+|y| <= 2q
Wat klopt er hier niet? x en y zijn toch maximaal q?
Re: Orde van lipschitz continu
Geplaatst: di 02 jun 2009, 20:24
door yoralin
[-123;1]
Re: Orde van lipschitz continu
Geplaatst: di 02 jun 2009, 20:25
door dirkwb
\( |x-y| \leq |x|+|y| \leq 2\cdot max(|p|,|q|) = 2d\)
en dus
\( |x-y|^{b-a} \leq 2d \)