[wiskunde/vloeistofmechanica] maximale hydraulische straal

[Mark.K]

beste mensen

Voor het vak vloeistofmechanica moet ik de volgende opdracht maken:

Gegeven is een rechthoekig dwarsprofiel (b*h) met een (nat)oppervlak van 100m2.

Bepaal h en b zodanig dat R maximaal is.

\(R=\frac{A}{o} = \frac{oppervlakte}{natte omtrek} = \frac{b*h}{b+2h}\)

.

R is uiteraard het grootst als (b+2h) zo klein mogelijk is.

Ik heb eerst gezocht op het forum maar geloof niet dat er vergelijkbare vragen te op staan.

Kan iemand mij hiermee verder helpen?

[yoralin]

b+2h zo klein mogelijk met b.h = 100, dus b + 200/b zo klein mogelijk.

b + 200/b

= (√b)² - 2√200 + (√(200/b))² + 2√200

= (√b - √(200/b))² + 2√200 2√200

en enkel = als √b - √(200/b) = 0, dus b = √200 = 10√2 en h = 100/(2b) = 10/√2 = 5/√2.

[Mark.K]

oké bedankt.

Ik weet niet of ik de berekening al helemaal snap maar de uitkomst lijkt te kunnen kloppen.

Behalve dan dat h = 100/(2b) = 10/√2 = 20/√2 moet zijn misschien?

[yoralin]

Inderdaad een copy-paste foutje : b = 10.√2 en h = 100/b = 100/(10.√2) = 10/√2 = 5.√2 (niet 5/√2).

Controle : b.h = (10.√2).(5.√2) = 50*2 = 100.

De berekening is zoals bij (als a en b positief zijn) (a+b)/2 √(ab) en gelijkheid treedt enkel op als a = b.

(Bewijs : schrijf (√a-√b)² 0 uit.)

Vertaald : als het produkt van twee factoren a en b constant is, is hun som is minimaal als a en b gelijk zijn.

Hier : b en 2h moeten gelijk zijn.