[wiskunde] vergelijking raaklijnen

[deSV]

Hallo allemaal,

ik kom ergens niet uit. Misschien dat één van jullie mij een eindje op weg kan helpen?

Opgave: Bepaal de vergelijkingen van de raaklijnen aan de grafiek van de functie f(x)= 2x²+2 die de x-as snijden in het punt x=1

Normaal gesproken kom ik wel uit dit type vragen, alleen op de één of andere manier wil deze maar niet lukken :eusa_whistle: Er staat 'de x-as snijden in het punt x=1'. Maar als de x-as gesneden wordt, is de y-coordinaat van dat punt altijd 0, dus dan zou je het punt (1;0) krijgen volgens de vraag, maar als je dit invult in de vergelijking klopt dat helemaal niet. Bij x = 1 hoort dan namelijk y = 4.

Ik kom dus niet veel verder als de afgeleide bepalen ... ( f'(x) = 4x )

[Klintersaas]

De raaklijnen gaan door het punt (1,0), niet de functie zelf. Kom je zo verder?

[deSV]

Oja dat is waar. Ben weer stapje verder, maar heb hem nog steeds niet helemaal door.

Als je de vergelijking van de raaklijn als volgt zou noteren y = ax + b gaat die lijn dus door het punt (1;0)

Alleen om dat op te lossen (dus 'b' te bepalen zegmaar) moet je natuurlijk wel die 'a' weten, toch?

Dat zou kunnen met de afgeleide vermoed ik, alleen dan kom je ik uiteindelijk nog iets te kort, want als afgeleide van die functie f(x) = 2x^2 + 2 is f'(x)= 4x. Meestal kan je dan die 'x' wegspelen mbv een gegeven in de vraag, maar die ontbreekt nu toch?..

Kortom, ik zie het nog steeds niet :eusa_whistle:

[TD]

De vergelijking van een lijn door (1,0) en met richtingcoëfficiënt m is y = m(x-1).

Deze lijn raakt aan de gegeven functie, als er maar één gemeenschappelijk punt is...

[deSV]

Ik begrijp het nog steeds niet .. :eusa_whistle:

[TD]

Begrijp je wel die vergelijking van de raaklijn...? Het is handig als je wat duidelijker aangeeft wat je wel/niet snapt.

De snijpunten kan je vinden door y = m(x-1) in het functievoorschrift te vervangen. Je krijgt dan een kwadratische vergelijking in x. Het is een raaklijn, als er precies één snijpunt is.

[Xenion]

Ik bekijk het zo:

Je hebt

\(y = 2x^2 + 2\)

\(y' = 4x\)

Dus een raaklijn in het punt (a,b) van de functie is van de vorm:

\(y-b = 4a(x-a)\)

Je kan dan uitdrukken dat die raaklijn door het punt (1,0) moet gaan door x en y zo te substitueren:

\(0-b = 4a(1-a)\)

En omdat de raaklijn ook een punt gemeenschappelijk moet hebben met de parabool weet je dat

\(b = 2a^2 + 2\)

en zo kan je dan verder werken tot je alle mogelijke waarden voor a en b gevonden hebt.

[deSV]

De snijpunten kan je vinden door y = m(x-1) in het functievoorschrift te vervangen. Je krijgt dan een kwadratische vergelijking in x. Het is een raaklijn, als er precies één snijpunt is.

Wat bedoel je met vervangen?

De lijn y = m(x-1) raakt dus aan f(x) = 2x²+2

Maar dan kan je toch nog de richtingscoëfficient niet bepalen want als je die vergelijking oplost ( y = f(x) ) dan blijf je met 'm' en 'x' zitten als variabelen en weet je dus nog niets :eusa_whistle:

En Xenion, door jouw uitleg kan ik het wel uitrekenen (denk ik) alleen ik heb geen idee hoe je aan y - b = 4a(x-a) komt ...

[TD]

Wat bedoel je met vervangen?

In dat voorschrift y vervangen door m(x-1), substitutie.

[deSV]

In dat voorschrift y vervangen door m(x-1), substitutie.

In het voorschrift 2x₂+2 kan ik toch geen y vervangen? :eusa_whistle:

[TD]

Dat is toch gelijk aan y? Je hebt y = 2x²+2 en je zoekt de snijpunten met y = m(x-1), dus: m(x-1) = 2x²+2.

[deSV]

Dat is toch gelijk aan y? Je hebt y = 2x²+2 en je zoekt de snijpunten met y = m(x-1), dus: m(x-1) = 2x²+2.

Ja maar dan loop ik juist weer vast.

Dan krijg je dus dit:

m(x-1) = 2x²+2

mx - m = 2x²+2

m = -2x²+ mx - 2

Dan weet ik toch nog geen getal daarvoor , voor m :eusa_whistle:

[Equation]

Ja maar dan loop ik juist weer vast.

Dan krijg je dus dit:

m(x-1) = 2x²+2

mx - m = 2x²+2

m = -2x²+ mx - 2

Dan weet ik toch nog geen getal daarvoor , voor m :eusa_whistle:

Ken je de "ABC-formule"?

Zet je formule nog eens een stapje verder om:

m = -2x²+ mx - 2

2x² - mx + (2+m) = 0

(ax² + bx + c = 0)

Je weet dat je 1 snijpunt met de grafiek van f(x) krijgen, dus D(discriminant) = 0

D = b² - 4ac

Probeer dat eens uit te werken?

(voor alle duidelijkheid, nu zal je een kwadratische functie van m krijgen die je als het goed is wel zelf kan uitwerken ](*,) )

[deSV]

Ken je de "ABC-formule"?

Zet je formule nog eens een stapje verder om:

m = -2x²+ mx - 2

2x² - mx + (2+m) = 0

(ax² + bx + c = 0)

Je weet dat je 1 snijpunt met de grafiek van f(x) krijgen, dus D(discriminant) = 0

D = b² - 4ac

Probeer dat eens uit te werken?

D = (-m)² - (4x2x(2+m))

D = -m² - 8(2+m)

D = -m² - 8m - 16

D = 0 want één snijpunt

-m² - 8m - 16 = 0

=> m = -4

De raaklijn is dus : y = -4x + b door (1;0)

0 = -4 + b

b => 4

dan zou ik uitkomen op een vergelijking van de raaklijn van y = -4x + 4 , maar volgens het correctievoorschrift is dat niet het goede antwoord .....

[Equation]

D = (-m)² - (4x2x(2+m))

D = -m² - 8(2+m)

D = -m² - 8m - 16

D = 0 want één snijpunt

-m² - 8m - 16 = 0

=> m = -4

De raaklijn is dus : y = -4x + b door (1;0)

0 = -4 + b

b => 4

dan zou ik uitkomen op een vergelijking van de raaklijn van y = -4x + 4 , maar volgens het correctievoorschrift is dat niet het goede antwoord .....

Ik heb je fout vet gedrukt.

Houd er rekening mee: (-2)² = 4, maar -2² = -4.

(-2)² = -2 * -2 = 4

-2² = -1 * 2² = -4

Kom je er zo uit?

En wat geeft het correctievoorschrift als antwoord?

EDIT:

ik kom uit op m = 8+4wortel2 of m = 8-4wortel2