[wiskunde] scalair product

[BramusBoy]

Wat moet je doen als er gevraagd is om het scalair product te definieren op E³ en op

\(\Re^3\)

?

Is er een verschil tussen beiden, en is er een verschil met het "gewone" scalair product?

Met het gewone scalair product bedoel ik:

\(\vec{x}\)

*

\(\vec{y}\)

=

\(\sum_{i=1}^n\)

\(x_i\)

*

\(y_i\)

Is dit wat ik nu geschreven heb op E² en

\(\Re^2\)

?

Alvast bedankt

[TD]

Ik heb wel een vermoeden, maar wat bedoel jij precies met E³ en R³?

[Jan197]

Ik ken E^3 niet, maar bij R^3 heb je gewoon drie assen. Dus zou je het inproduct van kunnen nemen van de x y en z-waarden.

[BramusBoy]

Ik heb wel een vermoeden, maar wat bedoel jij precies met E³ en R³?

Dat is deels ook een beetje mijn vraag :eusa_whistle:

Wij hebben in de theorie dit gezien: E³ is de 3-dim Euclidische ruimte

We hebben ook iets gezien in de aard van:

3D ruimte E³

\(\longleftrightarrow\)

R³ = {(x,y,z)|x,y,z element R}

en dit komt dan overeen met

P=(x,y,z)

\(\longleftrightarrow\)

\(\vec{x}\)

= [x,y,z]'

Is dit dan hetzelfde als ik dat scalair product moet definieren op E³ of op R³?

[TD]

Ben je wel zeker dat er gevraagd is om het scalair product apart te definiëren voor E³ en R³?

Ik denk dat je wat dingen door elkaar haalt. Je maakt eerst een identificatie tussen punten in de "meetkundige ruimte" (E³) en elementen uit de vectorruimte R³. Hiertussen plaats je een bijectie, zodat je met elk punt P uit de ruimte een drietal (x,y,z) uit R³ laat overeenkomen. Je scalair product definieer je op vectoren uit die ruimte, maar dankzij deze identificatie kan je dat gewoon op de coördinaten doen.

Morgen (proef)examen?

[BramusBoy]

Ik ken E^3 niet, maar bij R^3 heb je gewoon drie assen. Dus zou je het inproduct van kunnen nemen van de x y en z-waarden.

Is dat dan gewoon ook nog eens *

\(\vec{z}\)

doen?

Zou het definieren van het scalair product op E³ is te maken kunnen hebben met de determinant formule?

met

\(\vec{u}\)

= [

\(u_1\)

,

\(u_2\)

,

\(u_3\)

]' en

\(\vec{v}\)

= [

\(v_1\)

,

\(v_2\)

,

\(v_3\)

]'

en dan:

\(\vec{u}\)

*

\(\vec{v}\)

= ....

[Phys]

We hebben ook iets gezien in de aard van:

3D ruimte E³

\(\longleftrightarrow\)

R³ = {(x,y,z)|x,y,z element R}

en dit komt dan overeen met

P=(x,y,z)

\(\longleftrightarrow\)

\(\vec{x}\)

= [x,y,z]'

Dit is vrij vraag. Ten eerste wordt

\(\rr^3=\{(x,y,z)|x,y,z\in\rr\}\)

doorgaans de Euclidische driedimensionale ruimte genoemd, terwijl jij E^3 juist zo noemt, wat me doet afvragen hoe jij E^3 dan definieert. Maar wellicht wordt er hier het (triviale) isomorfisme bedoeld tussen enerzijds de ruimte der geordende paren (x,y,z) met x,y,z reële getallen, en anderzijds de ruimte der rij-/kolomvectoren [x,y,z] met x,y,z reële getallen. Des te verwarrender dat je dan schrijft

3D ruimte E³

\(\longleftrightarrow\)

R³ = {(x,y,z)|x,y,z element R}

P=(x,y,z)

\(\longleftrightarrow\)

\(\vec{x}\)

= [x,y,z]'

in plaats van

3D ruimte E³

\(\longleftrightarrow\)

R³ = {(x,y,z)|x,y,z element R}

\(\vec{x}\)

= [x,y,z]'

\(\longleftrightarrow\)

P=(x,y,z).

Mogelijk is het de bedoeling van deze opdracht dat je opmerkt dat het scalair product neerkomt op het 'gewone inproduct' (als dat bekend is) tussen kolomvector en rijvector: [x,y,z]' . [x',y',z']'= [x,y,z]' . [x',y',z']. Waarbij [..]' een kolomvector en [..] een rijvector voorstelt.

\\edit: ik ben langzaam zie ik...

[Jan197]

Bij een determinant krijg je een vector als uitkomst! Bij een inproduct een getal als uitkomst.

Als je twee vectoren in R^3 heb is het bij [1,2,3] en [4,5,6]: 1*4+2*5+3*6=...

[TD]

Zou het definieren van het scalair product op E³ is te maken kunnen hebben met de determinant formule?

met

\(\vec{u}\)

= [

\(u_1\)

,

\(u_2\)

,

\(u_3\)

]' en

\(\vec{v}\)

= [

\(v_1\)

,

\(v_2\)

,

\(v_3\)

]'

en dan:

\(\vec{u}\)

*

\(\vec{v}\)

= ....

Die determinant heb je waarschijnlijk gezien voor het vectorieel product. Voor het scalair product heb je:

\(\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right) \cdot \left( {{x_2},{y_2},{z_2}} \right) = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}\)

[TD]

Ten eerste wordt

\(\rr^3=\{(x,y,z)|x,y,z\in\rr\}\)

doorgaans de Euclidische driedimensionale ruimte genoemd, terwijl jij E^3 juist zo noemt, wat me doet afvragen hoe jij E^3 dan definieert.

De cursus maakt een expliciet onderscheid tussen de Euclidische ruimte E³, waarmee de meetkundige ruimte met "punten" als elementen bedoeld wordt, en de vectorruimte R³. Er wordt dus een bijectie gelegd tussen elk punt van die "meetkundige ruimte" E³ en een vector uit (de vectorruimte) R³.

Verborgen inhoud

Dat is misschien niet duidelijk uit het geciteerd stuk, maar ik ken toevallig de cursus - denk ik...

[BramusBoy]

Ben je wel zeker dat er gevraagd is om het scalair product apart te definiëren voor E³ en R³?

De ene vraag is: "Definieer het scalair product op R³, geef een alternatieve meetkundige

uitdrukking ervoor en bewijs deze." (die meetkundige uitdrukking is de hoek tussen de 2 vectoren dacht ik; en dan uitwerken enzo, maar dat kan je toch niet met ook nog een 3e vector z, of wel?)

De andere: "Definieer het scalair product op E³ , de loodrechte projectie van een

vector op een niet-nulle vector en stel voor deze laatse een formule op

(met bewijs.)" (vanaf die loodrechte projectie weet ik wat ik moet doen, maar dat scalair product op E³ snap ik dus niet)

Morgen (proef)examen?

Nog niet morgen :eusa_whistle:

Edit: Nu eigenlijk wel al ](*,) ](*,)

[Jan197]

Je spreekt hier over een derde z "vector", maar dit geen vector maar de waarde van de vector in de z-richting. Wanneer het inproduct gelijk is aan nul staan de twee vectoren loodrecht op elkaar.

[BramusBoy]

Die determinant heb je waarschijnlijk gezien voor het vectorieel product. Voor het scalair product heb je:

\(\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right) \cdot \left( {{x_2},{y_2},{z_2}} \right) = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}\)

Dus het scalair product op R³ is dan:

\(\vec{x}\)

*

\(\vec{y}\)

*

\(\vec{z}\)

=

\(\sum_{i=1}^n\)

\(x_i\)

*

\(y_i\)

*

\(z_i\)

?

[TD]

De ene vraag is: "Definieer het scalair product op R³, geef een alternatieve meetkundige

uitdrukking ervoor en bewijs deze." (die meetkundige uitdrukking is de hoek tussen de 2 vectoren dacht ik; en dan uitwerken enzo, maar dat kan je toch niet met ook nog een 3e vector z, of wel?)

Wat is het probleem met een derde coördinaat (niet vector), z...?

De andere: "Definieer het scalair product op E³ , de loodrechte projectie van een

vector op een niet-nulle vector en stel voor deze laatse een formule op

(met bewijs.)" (vanaf die loodrechte projectie weet ik wat ik moet doen, maar dat scalair product op E³ snap ik dus niet)

Ik kan begrijpen dat je hiermee misschien in de war bent; je moet gewoon het (enige) scalair product definiëren dat je kent - op E³ of R³ komt (door die identificatie) toch op hetzelfde neer. Of je nu met het "punt" uit E³ werkt of de vector uit R³ die ermee overeenkomt, maakt hiervoor niet uit.

Nog niet morgen ](*,)

Edit: Nu eigenlijk wel al ](*,)

Vrijdag dus, succes ermee :eusa_whistle:

[Jan197]

nee, dat klopt niet. Hier zeg je dat je eenheden met elkaar vermenigvuldigt binnen dezelfde vector?!

Kijk eens naar:http://nl.wikipedia.org/wiki/Inwendig_product