[fysica/wiskunde] berekenen massa-centrum

[carbon]

Het onderwerp is duidelijk fysica-gerelateerd, maar de moeilijkheid ligt vooral bij de wiskunde, vandaar beide thema's in een.

Ik moet dus berekenen hoeveel het massacentrum van een gebogen staaf (lengte L, massa M) buiten het lichaam ligt wanneer deze gebogen is tot een boog, zodat er een hoek van 90° tussen beide uiteinden van de staaf is (analogie met hoogtespringers).

Je moet enkel die voor de y-as berekenen, aangezien het voor de x-as wegens symmetrie in het midden ligt. Je moet dus y dm in functie krijgen van enkel y en dy en constantes. Ik heb heel veel zitten klungelen, maar er wilt maar niets productiefs uit komen. Het volgende lijkt me wel logisch, maar dan weer wiskundig aartsmoeilijk:

Je wilt dm in verband brengen met dy. Er geldt: dm = rho.d(a) met rho de dichtheid (rho = M/L) en a de arklengte van een stukje gebogen staaf. Als die arklengte gevormd wordt door een hoek d(alpha), kun je dus zeggen: d(a) = R.d(alpha) met R de straal (en wegens het gegeven R.pi/2 = L, maar dat doet er even niet toe). Ook lijkt het mij (volgend uit mijn primitieve schetsen) dat je kan zeggen dat sin(d(alpha)) = dy/da. Als je deze laatste twee vergelijkingen bundelt en alpha laat wegvallen, krijg je dus: (da)² = R.dy

Als je die laatste vergelijking echt wilt invullen in dm = rho.d(a), krijg je dus een differentiaal onder een vierkantswortel, oftwel:

dm = rho.sqrt(R dy)

En dan zou ik echt niet weten hoe je verder kunt met je integraal...

Spoiler: [+]

Als je mijn uitleg niet kan volgen, laat mij dan een verkorte versie geven: kun je een integraal uitrekenen wanneer de dx onder een macht staat zoals hierboven? (sqrt(dy)) Zo niet, dan ben ik sowieso helemaal verkeerd bezig, in welk geval ik vriendelijk vraag: heeft iemand anders een idee?

[Phys]

Ik wil niet vervelend zijn, maar zou je een schetsje kunnen maken met x,y-assen, alpha's en a's erin, want ik volg het niet helemaal? Dat je op

\(\sqrt{dy}\)

komt is in ieder geval een duidelijk teken dat je iets verkeerds doet (en je kunt dan ook helemaal niet gaan integreren).

[carbon]

Inderdaad, die sqrt(dy) was onmogelijk, moest d(sqrt(y)) zijn. Maar ik denk dat ik eruit ben geraakt, had het eerst nogal onnodig moeilijk aangepakt. Klinkt het aannemelijk als je uitkomt dat als iemand van 2m gebogen over een dwarse stok springt (hoogspringen, dus), en zijn lichaam dus op de boog van een cirkel ligt zodat het hoofd en de voeten een middelpuntshoek maken van 90°, dat je dan uitkomt dat hun massamiddelpunt 12,7 cm onder hun "normaal" massamiddelpunt ligt?