Taylorreeks

[lucca]

Geef een taylorreeks voor de volgende functie:

\( f(x) = a^x , x_{0} = 2 \)

\( a > 0 \)

willekeurig

Het is de bedoeling dat je gebruikmaakt van bekende standaardreeksontwikkelingen. De enige reeksontwikkeling die hierop lijkt (denk ik) is e^x.

Ik zou niet goed weten hoe dat te doen...

Wel het volgende :

\( f(2) = a^2 \)

\(f'(2) = a^2 * ln a \)

\(f''(2) = a^2 * ln a * ln a\)

\(f'''(2) = a ^2 * ln a * ln a * ln a \)

dus :

\( f(x) = a^2 + a^2*ln a (x-2) + \frac{ a^2 * ln^2 a (x-2)^2}{2} + \frac{a^2 * ln^3 a (x-2)^3}{6} + .... \)

mja, eigenlijk is bovenstaand niet echt de bedoeling, kan iemand helpen vanuit een standaardreeks, de taylorreeks af te leiden?

bedankt!

[jhnbk]

\(a^x = e^{x \ln a}\)

[lucca]

Oja, tuurlijk...

en omdat het ontwikkelingspunt

\( x_{0} = 2 \)

is:

\( a^x = a^2(1 + x ln(a) + \frac{(xlna)^2}{2!} + \frac{(xlna)^3}{3!} + ......) \)

toch? :eusa_whistle:

[Klintersaas]

en omdat het ontwikkelingspunt

\( x_{0} = 2 \)

is:

\( a^x = a^2(1 + x ln(a) + \frac{(xlna)^2}{2!} + \frac{(xlna)^3}{3!} + ......) \)

Volgens mij moet het

\(a^x = a^2\left(1 + (x-2)\ln(a) + \frac{(x-2)^2\ln(a)^2}{2!} + \frac{(x-2)^3\ln(a)^3}{3!} + \cdots \right)\)

zijn.

[lucca]

Inderdaad, ontwikkelingspunt komt ook daar terug!