Convergentie van imaginaire serie

[Agno]

Zat te lezen op de Wiki-site over

\(\pi\)

en stuitte op de zgn. Viète-formule waarbij

\(\pi\)

op de volgende wijze als een oneindig product geschreven kan worden:

\( \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\sqrt2}{2} . \dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2} . \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2+ \sqrt2}}}{2} \dots \)

Vroeg me toen af of dit oneindige product wellicht ook voor andere waarden convergeert en vond toen de volgende, ietwat verrassende convergerende serie voor complexe getallen:

\( 1.294251361841695934 = |{\sqrt{-1}} . \sqrt{-1+\sqrt{-1}}} . \sqrt{-1+\sqrt{-1+ \sqrt{-1}}}} \dots | \)

Natuurlijk meteen geprobeerd om dit getal te relateren aan

\(\pi\)

of aan e, maar kan zo gauw niets bijzonders vinden. Het getal geeft ook geen hits op Google en de reeks opeenvolgende getallen achter de komma levert ook niets op bij Sloane's site voor reeksen en rijen.

Ziet iemand wellicht iets bijzonders in deze reeks?

[Agno]

De volgende analogie levert wel wat op:

\( \pi = \sqrt{2- \sqrt{2+ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots }}} \)

Levert voor -1 in dezelfde reeks op:

\( \sqrt[4]{3} = | \sqrt{-1- \sqrt{-1+ \sqrt{-1 + \sqrt{-1 + \dots }}} | \)

Kan het niet bewijzen, maar vond het toch een mooi resultaat.

[Agno]

En die laatste is weer heel mooi te veralgemeniseren voor alle negatieve getallen:

\( \sqrt[4]{n(n+2)} = | \sqrt{-n- \sqrt{-n+ \sqrt{-n + \sqrt{-n + \dots }}} | \)

[jhnbk]

Klopt. Ik wou net het bewijsje posten voor jouw geval maar je hebt er al een algemeen geval van gemaakt!

\(| \sqrt{-1- \sqrt{-1+ \sqrt{-1 + \sqrt{-1 + \dots }}} } | = | \sqrt{-1- a} | \)

Dus is

\(a=\sqrt{-1+ \sqrt{-1 + \sqrt{-1 + \dots }}}=\sqrt{-1+a}\)

Dat oplossen naar a en invullen in bovenstaande vergelijking en het komt uit.

[Agno]

Nog wat verder zitten speuren over de geldigheid van de algemenere formule:

\( \sqrt[4]{n(n+2)} = | \sqrt{-n- \sqrt{-n+ \sqrt{-n + \sqrt{-n + \dots }}} | \)

en hij blijkt alleen te werken voor

\( n \in \mathbb{R}, n \ge 0\)

.

Zodra je echter waardes

\(n < 0\)

invult, dan convergeert de reeks nog wel maar klopt de formule niet meer.

Paar voorbeelden van waardes die ik wel kon achterhalen:

\(n = -\dfrac12\)

levert

\(\sqrt{\sin (\dfrac{\pi}{3})}\)

\(n = -1\)

levert

\(\sqrt{\Phi -1}\)

met

\(\Phi =\)

de Gulden Snede.

Wie ziet het verband voor

\(n < 0\)

?

[Agno]

Toch even verder gespeurd naar een formule die geldig is voor het hele domein

\( n \in \mathbb{R}\)

en ik heb em gevonden:

\(| \sqrt{n+ \frac12 + \frac12 \sqrt{-4n+1}}| = | \sqrt{-n- \sqrt{-n+ \sqrt{-n + \sqrt{-n + \dots }}} | \)

Zag trouwens dat er in een eerdere post hierboven een storende fout zat:

Het is natuurlijk niet:

\( \pi = \sqrt{2- \sqrt{2+ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots }}} \)

maar:

\( \pi = \lim_{m \to \infty} 2^{m+1} \sqrt{2- \sqrt{2+ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots }}} \)

met

\(m\)

het aantal termen in

\(\sqrt{2+ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots\)

Dus eerste gedachte was natuurlijk: "daar zit misschien een nieuwe formule voor

\(\pi\)

in":

\( \pi = 2^{\infty} | \sqrt{(-2) + \frac12 + \frac12 \sqrt{-4 (-2) +1}}|\)

maar helaas, precies bij

\(n=-2\)

wordt de formule natuurlijk net weer 0.

Lukt het wellicht wel met de

\(n=-2\)

en de Gulden Snede

\(\Phi\)

?

\( \sqrt{\phi-1} = | \sqrt{(-1) + \frac12 + \frac12 \sqrt{-4 (-1) +1}}| = \sqrt{-\frac12 + \frac12\sqrt{5}}\)

Maar dat wisten we natuurlijk ook al.

Dan als laatste maar een grafiek gemaakt van alle convergerende waarden voor

\(n\)

. Misschien is er nog iets leuks te halen uit die vreemde dip tussen 0 en 1?

[Agno]

En dat dipje is natuurlijk ook erg eenvoudig te verklaren. Het is gewoon het omslagpunt tussen tweede wortel uit een positief en een negatief getal in:

\(| \sqrt{n+ \frac12 + \frac12 \sqrt{-4n+1}}| \)

\(-4n+1 = 0\)

bij

\(n= \frac14\)

. De functiewaarde is daar

\(\frac12 \sqrt{3}\)

.

Het nulpunt op -2 is dan het punt waar de hoofdwortel uit het gehele getal 'omklapt'.

Ook nog geprobeerd om te kijken welk getal bijv.

\(\pi\)

als uitkomst oplevert en dat is (niet geheel onverwacht) bij:

\(n = \pi^{2} -1 \pm i \sqrt{\pi^{2}-1}\)

.

[thermo1945]

\( \pi = \sqrt{2- \sqrt{2+ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots }}} \)

Deze formule bevat x =

\( \ \sqrt{2+ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots }}} =\sqrt{2+x}\)

of

x =

\( \{x} = \sqrt{2+x}\)

.

Door te kwadrateren zie je gemakkelijk in, dat x=2. Dus zou

\( \pi = \sqrt{2- 2} \)

zijn. De eerste bewering is dan fout

[Lucas N]

Dit topic begon met een modulus van een oneindig product van complexe wortels:

\( 1.294251361841695934 = |{\sqrt{-1}} . \sqrt{-1+\sqrt{-1}}} . \sqrt{-1+\sqrt{-1+ \sqrt{-1}}}} \dots | \)

Nu zijn complexe wortels meerwaardig (

\( \sqrt{-1} \)

kan i of -i zijn), maar misschien is de modulus van die uitdrukking wel uniek ?

Uitgaand van

\( |z_1 z_2 z_3....|=|z_1| |z_2| |z_3|..........\)

moet je van elke faktor aantonen dat ie uniek is.

Je zou kunnen denken dat verschillende wortels van een complex getal alleen qua argument verschillen en niet qua absolute waarde, dus dat

\( |z_i| \)

uniek is.

Ik betwijfel echter of dit opgaat vanaf

\( z_3 \)

, omdat je onder de wortel iets krijgt waarvan de absolute waarde afhangt van de keuze van de wortel, onder die wortel .

Van de uitdrukkingen verder in dit topic, met wortels van wortels.....van complexe getallen, weet ik niet hoe ik kan inzien dat ze goed gedefinieerd zijn.

Kan iemand hier wat licht op schijnen?

[dragonitor]

als jullie een oneindige formule zien, hoe berekenen jullie dan het uiteindelijke cijfer? zijn daar truukjes voor?

[jhnbk]

Zie bijvoorbeeld

De volgende analogie levert wel wat op:

\( \pi = \sqrt{2- \sqrt{2+ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots }}} \)

De uitdrukking klopt niet want daar komt gewoon nul uit.

Bedoel je dit:

(Bron: Mathworld)

[Agno]

Zie bijvoorbeeld hier.

De uitdrukking klopt niet want daar komt gewoon nul uit.

Bedoel je dit:

(Bron: Mathworld)

Jhnbk,

Dank voor de link. Die bedoelde ik inderdaad (en had deze fout in post #6 hierboven al gecorrigeerd).

[Agno]

Nog wat verder zitten studeren op de reeks uit de openingspost:

\( 1.29425136... = |{\sqrt{-1}} . \sqrt{-1+\sqrt{-1}}} . \sqrt{-1+\sqrt{-1+ \sqrt{-1}}}} \dots | \)

en vond dat er nog één andere waarde is die convergeert in dit oneindige product en dat is voor

\((i-1)\)

:

\( 0.92741106... = |{\sqrt{i-1}} . \sqrt{i-1+\sqrt{i-1}}} . \sqrt{i-1+\sqrt{i-1+ \sqrt{i-1}}}} \dots | \)

Ook hier vind ik geen verband met de bekende constanten of met de eerste reeks. Toen maar even naar de ontwikkeling van de individuele producttermen gekeken en daar vond ik tot mijn verrassing dat de absolute waarde van de individuele termen convergeert naar:

\( |\sqrt{i-1+\sqrt{i-1+ \sqrt{i-1} \dots}}} | = \sqrt{2}\)

Daarmee is

\(\sqrt{2}\)

dus uitgedrukt in een reeks van uitsluitend imaginaire getallen.

Heeft iemand enig idee waarom dit zo is?

[Agno]

Ah. Met het voorbeeld van Jhnbk hierboven is dit natuurlijk simpel te bewijzen:

\(| \sqrt{i-1 + \sqrt{i-1+ \sqrt{i-1 + \sqrt{i-1 + \dots }}} } | = | \sqrt{i-1 + a} | \)

\(a=\sqrt{\sqrt{i-1 + \sqrt{i-1 + \dots }}}=\sqrt{i-1 + a}\)

\(a = 1+i\)

dus voor de reeks geldt dan:

\( | \sqrt{(i-1) + (i+1)} | = |\sqrt{2i}| = \sqrt{2}\)