Machtreeksonwikkeling

[SYoung]

Hallo,

Ik ben momenteel bezig met het uitvogelen hoe machtreeksontwikkelingen werken.

Ik heb hier een boek voor mij liggen met een hoofdstuk over "Machtreeksen voor functies" en een hoofdstuk over "Rekenen met machtreeksen"

Het dringt mij nog steeds niet goed door hoe deze reeksen eigenlijk tot stand zijn gekomen.

Moet ik maar aannemen dat deze reeksen zo zijn?

Bij de opgaven wordt er mij gevraagd de machtreeksontwikkeling van bv.

\(e^{-x}\)

te geven.

Eerder in dat hoofdstuk staat de machtreeks van

\(e^{x}\)

, dus dan kan ik zelf ook wel verzinnen dat ik alle

\(x\)

moet vervangen voor

\(-x\)

. Hieruit kun je dus concluderen dat je elke willekeurige vorm hier voor

\(x\)

in kunt vullen.

Maar ik had dit nooit kunnen bedenken wanneer ik de reeks van

\(e^{x}\)

mij nog niet bekend was.

Taylorreeksen snap ik dan weer wel. Ik merk dan ook op dat de taylorreeks voor centrum x=0 wel erg veel lijkt op de machtreeksen. Is hier een relatie in te beschrijven?

Ik hoop dat iemand wat meer duidelijkheid voor mij kan scheppen!

Bij voorbaat dank,

Young

[SYoung]

Ik loop nu vast op het vermenigvuldigen van twee machtreeksen.

Een van de voorbeelden die gegeven wordt:

\((sin{x})\frac{1}{1+x}\)

\( = \left(x-\frac{1}{3!}x^{3}+\frac{1}{5!}x^{5}-\frac{1}{7!}x^{7}+...\right)\)

\( \left(1-x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}+x^{7}...\right)\)

\( = x-x^{2}+\frac{5}{6}x^{3}-\frac{5}{6}x^{4}+\frac{101}{120}x^{5}-\frac{101}{120}x^{6}+...\)

Ik zie hier het verband niet in. Totaal verdwaald!

[bessie]

Tsja je vraagt eigenlijk om alles wat je van machtreeksen moet weten.

Gelukkig geef je aan dat je Taylorreeksen begrijpt, dus volgens mij als je een Taylorreeks maakt rondom een punt in het domein van een willekeurige functie, krijg je vrij eenvoudig je reeksontwikkeling. Probeer maar: e^x met afgeleide e^x en zovoorts. Ontwikkelen rondom nul geeft dat alle factoren e^x gelijk worden aan 1 en dus houdt je direct de reeks voor e^x over.

Bij vermenigvuldigen van twee reeksen neem je stuk voor stuk, in opklimmende volgorde de termen die samengevoegd bijdragen tot de coefficient van een bepaalde machts-term (x en x^2, en 1 en x^3 om x^3 te krijgen). In jouw voorbeeld geven alleen de eerste term van beide functies samen x, dus is de eerste coefficient 1 maal 1. Zo ga je gewoon door voor elke volgende macht van x.

Lijkt me wel even genoeg zo?

[SYoung]

Tsja je vraagt eigenlijk om alles wat je van machtreeksen moet weten.

Gelukkig geef je aan dat je Taylorreeksen begrijpt, dus volgens mij als je een Taylorreeks maakt rondom een punt in het domein van een willekeurige functie, krijg je vrij eenvoudig je reeksontwikkeling. Probeer maar: e^x met afgeleide e^x en zovoorts. Ontwikkelen rondom nul geeft dat alle factoren e^x gelijk worden aan 1 en dus houdt je direct de reeks voor e^x over.

Bij vermenigvuldigen van twee reeksen neem je stuk voor stuk, in opklimmende volgorde de termen die samengevoegd bijdragen tot de coefficient van een bepaalde machts-term (x en x^2, en 1 en x^3 om x^3 te krijgen). In jouw voorbeeld geven alleen de eerste term van beide functies samen x, dus is de eerste coefficient 1 maal 1. Zo ga je gewoon door voor elke volgende macht van x.

Lijkt me wel even genoeg zo?

Oke dan zag ik dat goed bij de taylorreeksen.

Het klinkt mij allemaal nog maar wat vaag wat je in het tweede deel uit legt.

Zou je misschien een stukje voor kunnen doen bij het vermenigvuldigen van de twee reeksen?

(Graag in LaTeX)

Mischien met wat uitleg erbij, dan kan ik je gedachtegangen ook volgen..

[ZVdP]

Het vermenigvuldigen van twee reeksen gaat hetzelfde als het vermenigvuldigen van 2 polynomen.

\((a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...)(b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3+...)\)

\(=a_0(b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3+...)+a_1x(b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3+...)+a_2x^2(b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3+...)+...\)

\(=a_0b_0+a_0b_1x+a_0b_2x^2+...+a_1b_0x+a_1b_2x^2+...+a_2b_0x^2+a_2b_1x^3+...\)

Wat men nu nog doet is deze machtreeks terug op volgorde zetten:

\(=(a_0b_0)+(a_0b_1+a_1b_0)x+(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)x^2+...\)

Als je nu goed kijkt is er een 'trucje' om het resultaat onmiddelijk op te schrijven, zoals Bessie al vertelde.

Elke term van de eerste reeks wordt vermenigvuldigd met elke term van de tweede reeks.

Bv de x³-term van de eerste reeks vermenigvuldigd met de x⁵ van de tweede reeks, zal aanleiding geven tot een x⁸-term in de uitkomst. Maar ook de x²-term van de eerste reeks en de x⁶-term van de tweede reeks geven aanleiding tot een x⁸-term.

De uiteindelijke coëfficiënt voor x⁸ in de uitkomst, zal het product zijn van de coëfficiënten voor de machten die als som 8 hebben.

De coëfficiënten van de uitkomst vindt je dus door elke macht te schrijven in alle mogelijke gehele combinaties:

x⁰: 0=0+0

\(\rightarrow (a_0b_0)x^0\)

x¹: 1=1+0 en 0+1

\(\rightarrow (a_1b_0+a_0b_1)x^1\)

x²: 2=2+0 en 0+2 en 1+1

\(\rightarrow (a_2b_0+a_0b_2+a_1b_1)x^2\)

x³: 3=3+0 en 0+3 en 2+1 en 1+2 (...)

...

Als je dit toepast vindt je meteen de gesorteerde uitkomst.

Lukt het nu om dit toe te passen op jouw voorbeeld van

\((sin{x})\frac{1}{1+x}\)

[SYoung]

Bedankt, dat schept duidelijkheid.

Het lukt nu!

[bessie]

Even voor mijn begrip, doe je dit zelfstandig, of zit je op de unief? Dit zijn tamelijk basale zaken in de wiskunde, en ik weet niet of het handig is om over WF een complete studie wiskunde te volgen. Ik neem aan dat er in de zomervakantie weinig leden meelezen. In elk geval succes.

[SYoung]

Even voor mijn begrip, doe je dit zelfstandig, of zit je op de unief? Dit zijn tamelijk basale zaken in de wiskunde, en ik weet niet of het handig is om over WF een complete studie wiskunde te volgen. Ik neem aan dat er in de zomervakantie weinig leden meelezen. In elk geval succes.

Ik studeer Technische Natuurkunde.

Gewoon een opleiding en ik ga naar school..

Reeksontwikkeling is een deel van wat ik de vorige periode bij Wiskunde A3 gehad heb. Toen snapte ik het al niet heel erg goed.

In die periode had ik echter niet genoeg tijd om voor de tentamens Wiskunde A3 en Wiskunde B3 te leren.

Ik heb er toen voor gekozen Wiskunde B3 te leren. De stof die wij daarvoor moesten kennen snapte ik beter en hadden we in Periode 4 (deze periode) meer nodig.

Nu heb ik dus een gehele periode niks gezien van WA3, dus dat valt dan nog extra zwaar.

Het komt er dus op neer dat ik nu zelfstandig reeksontwikkelingen heb geleerd. (met een beetje hulp van jullie kant)

Reeksontwikkeling is maar een relatief onbelangrijk deel van wat ik nu moet kennen. (ik vraag mij zelfs af of het wel op het tentamen gevraagd wordt) Misschien een Taylorreeksje, maar dan houdt het daar ook mee op.

Morgen heb ik tentamen en daarna lekker vakantie!

(en leren voor hertentamens, jammer genoeg. Als iemand zin heeft om Atoom & Kernfysica en mogelijk nog wiskunde uit te leggen hoor ik het graag. Haha)

[TD]

Het dringt mij nog steeds niet goed door hoe deze reeksen eigenlijk tot stand zijn gekomen.

Moet ik maar aannemen dat deze reeksen zo zijn?

(...)

Taylorreeksen snap ik dan weer wel. Ik merk dan ook op dat de taylorreeks voor centrum x=0 wel erg veel lijkt op de machtreeksen. Is hier een relatie in te beschrijven?

Een Taylorreeks is een machtreeks! Het begrip 'machtreeks' is algemener, de Taylorreeks is een speciaal geval van een machtreeks.