Taylorveeltermbenadering

[TerrorTale]

Bepaal de taylorveeltermbenadering van de tweede graad van f(x) = 1/x rond

\(x_0=2\)

.

Oplossing : 1/2 - 1/4(x-2) + 1/8(x-2)²

________________________________________________________________________________

het is al goed, domme fout gemaakt xd

[TerrorTale]

maar nu ik toch bezig ben heb ik wel een andere vraag:

Bepaal de maclaurinveeltermbenadering van de 6de graad van f(x)=x sin(x) cos(2x)

bestaat er een manier waarop dit sneller kan? want het lijkt me vreemd dat mijn prof een vraag stelt waaraan je een half uur bezig bent met opschrijven, als er geen betere manier is..

[Westy]

nee, ik ken geen snellere methode. Ik dacht eerst de zaak wat te kunnen vereenvoudigen door wat te goochelen met goniometrie formules, maar dat maakt uiteindelijk geen groot verschil. Ik zie nniet echt een andere oplossing dan stuk voor stuk de afgeleiden te berekenen...

[TerrorTale]

oke

[bessie]

Kun je niet gewoon de eerste 5 termen van cos(2x)-ontwikkeling vermenigvuldigen met de eerste 5 van sin(x)? Dat zijn op zich 25 vermenigvuldigingen, maar alle termen hoger dan x^5 mag je weglaten, dus de helft.

[TerrorTale]

en alle sinussen mogen ook weg aangezien sin(0) = 0, ik had ook al aan iets soortgelijks gedacht maar ik ben bang dat ik dan dingen ga vergeten.

[bessie]

Nee ik bedoel hier de standaardreeksen voor sinus en cosinus.

[Westy]

Inderdaad

\(sin{x}=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}...\)

\(cos{(2x)}=1-2x^2+\frac{2x^4}{3}...\)

en dus is

\(x.sin{x}.cos{(2x)}=x.\left( x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}...\right)\left( 1-2x^2+\frac{2x^4}{3}...\right)=...\)

Dat gaat al een stuk sneller...

[TerrorTale]

oke bedankt jongens:), ik wist niet zeker of dit mocht.. maar de reeks benadert de oorspronkelijke functie dus is het wel logisch dat je zo ook mag rekenen .

[bessie]

Heb je ter controle ook het juiste antwoord? Of reken hem eens uit met 1e tot 5e afgeleide, haha! Ik weet niet of het juist is maar volgens mij mag er veel met machtreeksen.

[Westy]

Ik heb snel even alles in de computer gestopt:

Verborgen inhoud

screenshot 555 keer bekeken

en zoals je kan zien komen de eerste 3 termen (6de graad) inderdaad perfect overeen;

De laatste 3 niet meer - maar dat is logisch aangezien sinx en cos(2x) ook maar tot de 6de graad zijn uitgewerkt.

[TD]

oke bedankt jongens:), ik wist niet zeker of dit mocht.. maar de reeks benadert de oorspronkelijke functie dus is het wel logisch dat je zo ook mag rekenen .

For the record: je kan dat inderdaad bewijzen, 'dat mag'. Bovendien is de convergentiestraal van het product, ten minste gelijk aan de kleinste convergentiestraal van beide factoren (reeksen).