sciencetalk

Hallo iedereen

Nu ik bezig ben ben de schrödingervergelijking wil ik wel eens de golfvergelijking berekenen van het 1s orbitaal. Alleen kom ik nooit de juiste oplossing uit! En ik weet echt niet wat ik verkeerd doe.

ik neem als potentiële energie :

\(\frac{-e²}{4 \pi r \epsilon}\)

en als totale energie neem ik:

\(\frac{-e^4 m }{8 n² (\epsilon)² h² }\)

als ik dat alles stop in de schrödingervergelijking kom ik uit

\(\frac{\delta ² \Psi }{\delta x²} + \frac{\Psi }{a0²} =0\)

met a0 = de bhorstraal.

als ik dit dan oplos d.m.v. oplossen met differentiaalvergelijkingen dan kom ik uit

\(\psi = A \exp(-j.r/a0) + B \exp(j.r/a0)\)

wat dus niet blijkt te kloppen

Wat doe ik verkeerd !!!???

Kan je laten zien hoe je aan die differentiaalvergelijking komt?

vertrekkende van deze vergelijking:

\( \frac{\delta ² \Psi }{\delta x²} \frac{- \hbar² }{2 m} - \Psi \frac{e²}{4 \pi r \epsilon} =\frac{-e^4 m \Psi }{8 n² (\epsilon)² h² } \)

dan vervolgens alles vermenigvuldigen met

\(\frac{-2 m}{-(\hbar)² }\)

dan vermenigvuldig ik de 2de term van het linkerlid met

\( \frac{\pi}{\pi}\)

en vermenigvuldig ik de term in het linkerlid door

\( \frac{(\pi)²}{(\pi)²}\)

dan vervang ik de term

\(\frac{h² \epsilon}{\pi m e²}\)

door a0 (de bohrstraal)

dan bekom ik dus:

\(\frac{\delta ² \Psi }{\delta x²} + \frac{\Psi 2}{a0 r} =\frac{\Psi }{(a0)² n²}\)

met a0*n²=rn

dus

\(\frac{\delta ² \Psi }{\delta x²} + \frac{\Psi 2}{a0 r} =\frac{\Psi }{a0 r}\)

dan nog de leden bij elkaar zetten en dan bekom ik de vgl. want op het 1s orbitaal waar n=1 is a0 gelijk aan r

\(\frac{\delta ² \Psi }{\delta x²} + \frac{\Psi }{a0²} =0\)

Je kan a0 niet zomaar aan r gelijkstellen; r is een variabele, a0 een constante...

Maar daar zit de fout niet; je gebruikt de verkeerde Hamiltoniaan. Deze is die voor een eendimensionaal systeem. Je zal de Hamiltoniaan in bolcoördinaten moeten uitdrukken.

Weinig verstand van QM hier, echter de oplossing van

\(\frac{\delta ² \Psi }{\delta x²} + \frac{\Psi }{a0²} =0\)

lijkt me niet

\(\Psi = A \exp(-j.r/a0) + B \exp(j.r/a0)\)

maar

\(\Psi = A\sin(x/\sqrt{a_0})+B\cos(x/\sqrt{a_0})\)

Dat is toch hetzelfde, alleen anders genoteerd (als je jouw wortel laat vallen en byte's r in een x verandert)?

@ ZVdP Waar vind ik dan deze Hamiltoniaan?

want bv op deze website maakt men ook gebruik van bolcoördinaten

http://ursula.chem.yale.edu/~batista/vvv/node21.html

Maar daar begrijp ik helemaal niets van. Want men gebruikt daar dingen zoals R® Y (theta, phi), maar ik weet niet wat die Y of R betekent.

Ik heb mijn schrödingervergelijking gehaald uit het boek van giancollie en daar gebruikt men die notaties niet.

@Rogier bedankt ik had over die fout over gekeken.

De algemene (tijdsonafhankelijke) Schrödinger vergelijking is:

\(\frac{-\hbar^2}{2m}\Delta\Psi+V\Psi=E\Psi\)

In 1 dimensie wordt de Laplaciaan dus de tweede afgeleide naar x.

Maar nu moet je de Laplaciaan uitdrukken (=opzoeken in lijstje) in bolcoördinaten:

\(\Delta=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial}{\partial r})+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta})+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}(\frac{\partial^2}{\partial\phi^2})\)

Dan past men normaal scheiding van veranderlijken toe:

\(\Psi(r,\theta,\phi)=R( r )Y(\theta,\phi)\)

Als je dat allemaal invult (na vermenigvuldiging met -2mr²/(RYhbar²)):

\(\{\frac{1}{R}\frac{d}{dr}(r^2\frac{dR}{dr})-\frac{2mr^2}{\hbar^2}[V( r )-E]\}+\frac{1}{Y}\{\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\frac{\partial Y}{\partial\theta})+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2Y}{\partial\phi^2}\}=0\)

Deze bestaat uit 2 delen; het ene enkel afhankelijk van r, het ander van theta en phi. Deze kun je dus apart oplossen;

stel het eerste deel gelijk aan l(l+1) en het tweede deel -l(l+1).

Ik vermoed dat je het niet helemaal in zijn algemeenheid wil oplossen, aangezien je in je post de totale energie als een gegeven neemt.

Als je dan enkel het 1s orbitaal wil uitrekenen, kan je gebruik maken van de wetenschap dat dit orbitaal enkel r-afhankelijk is.

Dan heb je meteen dat Y=1 (voor 1s en ook algemeen geldig voor m=l=0)

Nu blijft enkel de radiale vergelijking over:

\(\frac{d}{dr}(r^2\frac{dR}{dr})-\frac{2mr^2}{\hbar^2}[V( r )-E]R=l(l+1)R\)

Nu kan je V,E en l=0 invullen en de differentiaalvergelijking proberren op te lossen, maar als ik in mijn cursus kijk lijkt me dat niet meteen eenvoudig...

waarom stel je het eerste deel gelijk aan l(l+1) en het tweede deel -l(l+1)??

en waarom juist l(l+1) ik weet dat die | het baankwantumgetal is, maar ik zie niet in wat deze komt doen in de Schrödinger vergelijking.

Er staat iets in de vorm van A+B=0, waarbij A en B afhangen van verschillende variabelen. Dan is de enige mogelijkheid dat A en B constant zijn.

A=-B=cte(=l(l+1))

Die l(l+1) kan je natuurlijk niet op voorhand weten, maar achteraf blijkt dat een verstandige keuze. Je kan natuurlijk alles ook berekenen door gewoon k als constante te nemen. (Merk op dat l(l+1) ook alle (complexe) getallen dekt)

Maar door l(l+1) als constante te nemen ipv k, bekom je de gekende regels voor de kwantumgetallen in atomen:

0<n

0<=l<n

-l<=m<=l

Dat is toch hetzelfde, alleen anders genoteerd (als je jouw wortel laat vallen en byte's r in een x verandert)?

Ja stom, ik vond die j al zo vaag maar dat maakt het argument natuurlijk imaginair (ik ben i gewend).

Wat ik niet begrijp is dat het baankwantumgetal | de hoek tussen de z-as en het orbitaal beppald

en dat het magnetisch kwantumgetal m| de hoek tussen de x-as en het orbitaal bepaald.???!!!

zoals men hier op deze website aangeeft. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase.../hydsch.html#c1

Door scheiding van veranderlijken toe te passen herleid je de differentiaalvergelijking naar 3 aparte vergelijkingen:

1 voor r, 1 voor phi en 1 voor theta.

Alle drie vergelijkingen, zoals praktisch alle andere vergelijkingen in qm, hebben discrete oplossingen.

Aan elk van de drie vergelijkingen kan je dus een kwantumgetal koppelen:

n voor de functie van r

l voor de functie van theta

m voor de functie van phi

De golffunctie is het product van de drie oplossingen (voor een bepaalde waarde van n,l,m):

\(\Psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi)=R_n( r )\Theta_l(\theta)\Phi_m(\phi)\)

Hierdoor is er dus een rechtstreeks verband tussen l en theta (hoek met de z-as) en m en phi (hoek met de x-as)

sciencetalk

Golffunctie van een waterstof atoom

Golffunctie van een waterstof atoom

Re: Golffunctie van een waterstof atoom

Re: Golffunctie van een waterstof atoom

Re: Golffunctie van een waterstof atoom

Re: Golffunctie van een waterstof atoom

Re: Golffunctie van een waterstof atoom

Re: Golffunctie van een waterstof atoom

Re: Golffunctie van een waterstof atoom

Re: Golffunctie van een waterstof atoom

Re: Golffunctie van een waterstof atoom

Re: Golffunctie van een waterstof atoom

Re: Golffunctie van een waterstof atoom

Re: Golffunctie van een waterstof atoom