De algemene (tijdsonafhankelijke) Schrödinger vergelijking is:
\(\frac{-\hbar^2}{2m}\Delta\Psi+V\Psi=E\Psi\)
In 1 dimensie wordt de Laplaciaan dus de tweede afgeleide naar x.
Maar nu moet je de Laplaciaan uitdrukken (=opzoeken in lijstje) in bolcoördinaten:
\(\Delta=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial}{\partial r})+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta})+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}(\frac{\partial^2}{\partial\phi^2})\)
Dan past men normaal scheiding van veranderlijken toe:
\(\Psi(r,\theta,\phi)=R( r )Y(\theta,\phi)\)
Als je dat allemaal invult (na vermenigvuldiging met -2mr²/(RYhbar²)):
\(\{\frac{1}{R}\frac{d}{dr}(r^2\frac{dR}{dr})-\frac{2mr^2}{\hbar^2}[V( r )-E]\}+\frac{1}{Y}\{\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\frac{\partial Y}{\partial\theta})+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2Y}{\partial\phi^2}\}=0\)
Deze bestaat uit 2 delen; het ene enkel afhankelijk van r, het ander van theta en phi. Deze kun je dus apart oplossen;
stel het eerste deel gelijk aan l(l+1) en het tweede deel -l(l+1).
Ik vermoed dat je het niet helemaal in zijn algemeenheid wil oplossen, aangezien je in je post de totale energie als een gegeven neemt.
Als je dan enkel het 1s orbitaal wil uitrekenen, kan je gebruik maken van de wetenschap dat dit orbitaal enkel r-afhankelijk is.
Dan heb je meteen dat Y=1 (voor 1s en ook algemeen geldig voor m=l=0)
Nu blijft enkel de radiale vergelijking over:
\(\frac{d}{dr}(r^2\frac{dR}{dr})-\frac{2mr^2}{\hbar^2}[V( r )-E]R=l(l+1)R\)
Nu kan je V,E en l=0 invullen en de differentiaalvergelijking proberren op te lossen, maar als ik in mijn cursus kijk lijkt me dat niet meteen eenvoudig...
