Rennende honden

[janamdo]

Op de hoekpunten van een vierkant met hoekpunten:

A = (1,1), B = (-1,1), C = (-1,-1), D = (1,-1)

bevinden zich 4 honden.

Op een gegeven ogenblik beginnen ze alle vier naar hun opvolger te

rennen, d.w.z.:

A rent naar B, B rent naar C, C naar D en D naar A

a). Leid de differentiaalvergelijking af, die de baan van hond A

beschrijft:

b) teken de baan

------------------------------------------------------------------------------------------

Hoe ging dat ook weer?

[janamdo]

daar moet een plaatje bij en in welk coordinatenstelsel ?

[physicalattraction]

In principe maakt het niet uit in welk coördinatenstelsel je werkt, en ik zie nu vooraf niet in welke de meeste voordelen zou hebben, dus dan zou ik het bij een Cartesisch coördinatenstelsel houden.

Je weet op elk moment

\(t\)

dat de snelheid van hond A,

\(\overrightarrow{v_A} = \frac{\partial \overrightarrow{r_A}}{\partial t}\)

, in de richting staat van de vector tussen hond A en B,

\(\frac{\overrightarrow{r_B} - \overrightarrow{r_A}}{|\overrightarrow{r_B} - \overrightarrow{r_A}|}\)

.

[janamdo]

In principe maakt het niet uit in welk coördinatenstelsel je werkt, en ik zie nu vooraf niet in welke de meeste voordelen zou hebben, dus dan zou ik het bij een Cartesisch coördinatenstelsel houden.

Je weet op elk moment

\(t\)

dat de snelheid van hond A,

\(\overrightarrow{v_A} = \frac{\partial \overrightarrow{r_A}}{\partial t}\)

, in de richting staat van de vector tussen hond A en B,

\(\frac{\overrightarrow{r_B} - \overrightarrow{r_A}}{|\overrightarrow{r_B} - \overrightarrow{r_A}|}\)

.

ga je dit nu aanpakken met gewone diff/integr rekening of met vectordiff/integr rekening ?

zo te zien werk je met vectoren..

( ik heb hier een boek : vectoralgebra en vectorcalculus (vectoranalyse) ), maar daar komen geen differentiaalvergelijkingen in voor..wel vectorvelden en integralen

Een plaatje van de vectoren is wel handig

Schijnt dat Maple ( CAS ) gemakkelijker tot de baan tekening komt als heti n poolcoordinaten is gedaan

[janamdo]

Dit zou de uitkomst moeten zijn



dy/dx = (y-x)/(x+y)

Het probleem is om het te beredeneren in differentialen dy en dx

Normaal gesproken denk ik bij een DV aan een functie die je zoekt voor een bepaalde grootheid waarvande toename/afname per tijdseenheid middels de DV word opgesteld , maar hier word naar de vormvan de functie gekeken (de baan)

De toename/afname ( de afstand)

ff nadenken hoe was het nu weer : de afgeleide vande afgelegde weg is de snelheid en de afgeleide van de snelheid ..de versnelling, maar in de opgave zijner alleen maar afstanden die de hond aflegt

[physicalattraction]

Hmmm, die uitkomst ziet er verraderlijk eenvoudig uit, maar ik zou niet weten hoe je hier op moet komen.

Misschien kun je wat ik eerder schetste in vectoren ontbinden in x-coordinaat en y-coordinaat, dus:

\( v_{A,x} = \frac{\partial x_A}{\partial t} = \frac{x_A - x_B}{\sqrt{(x_A-x_B)^2 + (y_A-y_B)^2}} \)

en analoog voor de y-richting en voor alle honden. Je krijgt dan 8 gekoppelde differentiaalvergelijkingen, waaruit je dan de verhouding tussen

\(v_{A,y}\)

en

\(v_{A,x}\)

kunt berekenen:

\(\frac{v_{A,y}}{v_{A,x}} = \frac{\partial y_A}{\partial x_A}\)

.

Ik betwijfel of dit de weg te gaan is, maar weet nu even geen eenvoudigere oplossing en laat het dus graag aan iemand anders over.

[EvilBro]

Stel dat je alleen de hond, die op (-1,1) start, bekijkt. Deze hond loopt richting de hond op (1,1). Als de eerste hond zich op (x,y) bevindt dan zal de tweede hond zich bevinden op (y,-x) (op basis van symmetrie). Je kunt nu de verschillen bepalen in de x- en de y-richting:

\(\Delta x = y - x\)

\(\Delta y = -x - y = -(x+y)\)

Deze verschillen geven een richting. Deze richting is tevens de richting van de baan die de hond loopt, dus:

\(\frac{dy}{dx} = \frac{-(x+y)}{y-x} = \frac{x+y}{x-y}\)

Ik heb dus kennelijk een andere hond gekozen dan de schrijvers van het probleem, maar dat heeft weinig invloed op de methode.

Overigens zou ik niet

\(\frac{dy}{dx}\)

bepalen, maar ik zou

\(\frac{dx}{dt}\)

en

\(\frac{dy}{dt}\)

bepalen. Hiermee kun je dan een tweede orde differentiaalvergelijking opzetten en deze is simpel op te lossen.

[janamdo]

Volgens de schrijver is het analoog met het vliegenprobleem-> zie ook forum

--------------------------------------------------------------------------------

Als het goed is heb je gemerkt, dat er een grote overeenkomst is tussen het probleem van de vlieg en dat van de 4 honden:

De vlieg vloog onder een vaste hoek t.o.v. zijn verbindingslijn met de oorsprong.

Maar dat is precies wat die honden ook doen!!

het komt er gewoon op neer een goede tekening op te stellen

een 2e orde DV? ..maar hier is toch geen sprake van t ..alleen maar y en x

Het opstellen van een DV orde 2 is me niet bekend, probeer het hier al voor een 1e orde DV

[EvilBro]

een 2e orde DV? ..maar hier is toch geen sprake van t ..alleen maar y en x

Maar niets let je om van zowel y als x een functie van t te maken...

[janamdo]

Maar niets let je om van zowel y als x een functie van t te maken...

Natuurlijk, maar dat is niet het gegeven..als het eenvoudig kan waarom ingewikkeld?

[EvilBro]

als het eenvoudig kan waarom ingewikkeld?

Dat is ook precies de insteek. Het is gemakkelijker via een tweede orde vergelijking.

[janamdo]

Dat is ook precies de insteek. Het is gemakkelijker via een tweede orde vergelijking.

Ja, maar de bedoeling is om uit het plaatje een DV orde 1 op te stellen, want DV orde2 werden niet bestudeerd door de studenten

[EvilBro]

Ja, maar de bedoeling is om uit het plaatje een DV orde 1 op te stellen, want DV orde2 werden niet bestudeerd door de studenten

Prima, maar begin dan niet over 'waarom moeilijk doen als het makkelijk kan'.

[janamdo]

Prima, maar begin dan niet over 'waarom moeilijk doen als het makkelijk kan'.

Ik heb een aantal bladzijde van de aanpak hier toegevoegd -- mij gaat het erom om hier op het forum dit duidelijk te krijgen-- wat is het basis idee hierachter?

Het had gekund dat er forum leden ook met dezezelfde aanpak begonnen waren, maar er worden andere oplossingen bedacht.

[janamdo]

Hierboven is het hondenprobleem gegeneraliseerd.. laat ik teruggaan tot de startsituatie

4 honden die starten op de hoekpunten van een vierkant ..zie de

plaatjes hieronder