Bewijs verzamelingsleer

[meijuh]

Voor een deel van een opgave moet ik bewijzen, of een tegenvoorbeeld vinden voor:

\(x \in (X \cap Z) \Rightarrow x \in (X \backslash Y) \cup (X \cap Y \cap Z)\)

Is hier een tegenvoorbeeld voor, of kan ik dit bewijzen?

Zo ja, hoe kan ik aan het bewijs beginnen?

[Drieske]

Geef eerst eens aan wat je zelf al hebt geprobeerd . Heb je al proberen te bewijzen en/of zoeken naar een tegenvb? Indien je hebt proberen te bewijzen: waar liep je vast? Hint bij verzamelingenleer is steeds: overtuig jezelf met venndiagrammen of het lijkt te kloppen in de meest algemene gevallen. Vaak zie je daar ook een weg richting bewijs (indien het klopt voor basis-venndiagrammen).

PS: wat weet je over X, Y en Z? Zijn het heel algemene verzamelingen, of is de doorsnede niet leeg, of...?

[kotje]

Venn diagram tekenen.

[meijuh]

Nou ik ben ervan overtuigd dat het klopt. Ik denk dat ik een bewijs kan opstellen voor wanneer x in Y zit dat het klopt

en wanneer x niet in Y zit, dat het ook klopt. Is dat een goede aanpak?

[Safe]

\(x \in (X \cap Z) \Rightarrow x \in (X \backslash Y) \cup (X \cap Y \cap Z)\)

Je moet letterlijk doen wat er staat:

Neem x behorend tot

\((X \cap Z)\)

en toon aan dat deze x tot

\((X \backslash Y) \cup (X \cap Y \cap Z)\)

behoort.

[WernerP]

Nog een hint: neem

\(x \in X \cap Z\)

dan zijn er twee mogelijkheden. Ofwel is de hier compleet ongerelateerde uitspraak "

\(x \in Y\)

" waar, ofwel niet. Ga in elk van de beide gevallen na of de conclusie klopt.

[meijuh]

Nog een hint: neem

\(x \in X \cap Z\)

dan zijn er twee mogelijkheden. Ofwel is de hier compleet ongerelateerde uitspraak "

\(x \in Y\)

" waar, ofwel niet. Ga in elk van de beide gevallen na of de conclusie klopt.

ja, dit heb ik precies zo gedaan, bedankt.