Stelsel oplossen met bolvglen

[Mazer]

Dag allemaal,

Voor een werkstuk moeten ik uitleggen hoe een gps-systeem werkt. Dit snap ik maar ik wil er ook graag een extra waarde aangeven door een rekenvoorbeeld erbij te steken.

Mijn basisidee daar van is om in een assenstelsel (middelpunt = middelpunt van aarde) 4 bollen te construeren en kijken waar ze mekaar snijden (dit zou de locatie van de ontvanger van een gps moeten zijn). de 4 bollen zijn dus de aarde, en deze rond 3 satellieten. Ik heb dus de 4 vergelijking van de bollen opgesteld in de cartesiaanse vergelijkingen. Vervolgens zou ik met een stelsel deze snijpunt(en) willen zoeken.

Het probleem is dat ik niet weet hoe ik moet werken met de x², y², en z² in een stelsel/matrix om ze op te lossen. Ik heb hier ook ergens al gelezen dat het onmogelijk is om een effectieve x, y of z waarde te vinden (dit was wel voor 4 bolvergelijkingen met 4 onbekenen, nu zijn het er 3) is dit hier ook zo?

dus even recapituleren, de vraag is dus: hoe los je een stelsel/matrix op als je met kwadraten werkt.

mvg Mazer

[WernerP]

Ik veronderstel dat je vier vergelijkingen van de gedaante

\(x^2+y^2+z^2+a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0\)

hebt? Trek ze dan twee aan twee af, dan hou je drie lineaire vergelijkingen met drie onbekenden over. Wellicht hou je als oplossing daarvan zoiets als een stelsel met nog één parameter over (zoiets als

\(\left ( \begin{array}{c} x & y & z\end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \end{array} \right ) + \lambda \left ( \begin{array}{c} 2 & 0 & -1\end{array} \right )\)

), als je die dan in één van de originele kwadratische vergelijkingen invult kan je de parameter bepalen

[Mazer]

als je 4 vergelijkingen 2 aan 2 aftrekt van elkaar dan bekom je toch meer dan 3 lineaire vergelijkingen? Als ik me niet vergis heb je er dan toch 6?

mvg Mazer

[Mazer]

Ik heb deze 6 vergelijkingen in mijn rekenmachine gestoken en ik kom de eenheidsmatrix uit (als je de laatste 2 rijen wegdoet, want deze zijn nulrijen).

[WernerP]

als je 4 vergelijkingen 2 aan 2 aftrekt van elkaar dan bekom je toch meer dan 3 lineaire vergelijkingen? Als ik me niet vergis heb je er dan toch 6?

mvg Mazer

En zijn die lineair onafhankelijk?