Cosinussen bij elkaar optellen m.b.v. euler.
Geplaatst: wo 13 apr 2011, 01:31
Ik heb
\(x[n] = 6\cdot\cos(\frac{8\pi}{5}n + \frac{3\pi}{2}) + 8\cdot\cos(\frac{2\pi}{5}n - \frac{\pi}{2})\)
\(x[n] = 6\cdot\cos\left(\frac{2\pi}{5}n - \frac{3\pi}{2}\right) + 8\cdot\cos\left(\frac{2\pi}{5}n - \frac{\pi}{2}\right)\)
\(x[n] = Re\left\{6e^{j\frac{2\pi}{5}n}\cdot e^{-j\frac{3\pi}{2}}\right\} + Re\left\{8e^{j\frac{2\pi}{5}n}\cdot e^{-j\frac{\pi}{2}}\right\}\)
\(x[n] = Re\left\{\left(6\cdot e^{-j\frac{3\pi}{2}} + 8\cdot e^{-j\frac{\pi}{2}}\right)\cdot e^{j\frac{2\pi}{5}n}\right\}\)
\(x[n] = Re\left\{2\cdot e^{-j\frac{\pi}{2}}\cdot e^{j\frac{2\pi}{5}n}\right\}\)
\(x[n] = 2\cos\left(\frac{2\pi}{5} - \frac{\pi}{2}\right)\)
Nu zegt het antwoord echter dat het \(\cos\left(\frac{2\pi}{5} - \frac{\pi}{2}\right)\)
moet zijn... Dit bovenstaande gaat over discrete signalen. Volgens de formule van euler, zou je eigenlijk als ik het goed begrijp ook nog de negatieve \(j\)
componenten moeten bijschrijven dus...\(x[n] = 6\cdot\cos\left(\frac{2\pi}{5}n - \frac{3\pi}{2}\right) + 8\cdot\cos\left(\frac{2\pi}{5}n - \frac{\pi}{2}\right)\)
wordt eigenlijk...\(x[n] = 3e^{j\frac{2\pi}{5}n}\cdot e^{-j\frac{3\pi}{2}} + 3e^{-j\frac{2\pi}{5}n}\cdot e^{j\frac{3\pi}{2}} + 4e^{j\frac{2\pi}{5}n}\cdot e^{-j\frac{\pi}{2}} + 4e^{-j\frac{2\pi}{5}n}\cdot e^{j\frac{\pi}{2}}\)
Alleen wanneer je dus alleen het reële deel pakt. Krijg je die deling door 2 niet en geen negatieve componenten makkelijker dus wanneer je alleen geïnteresseerd bent in de som van de cosinussen. Dus wat gaat hier fout? Of klopt het gegeven antwoord niet?