Integratiemethodes - partieel integreren

[VincentW.]

Ik moet dus de volgende integraal oplossen, ik werk nu met oefeningen die ( in principe ) wat moeilijker zouden moeten zijn dan we normaal maken en dit in een gemengde reeks. Nu kwam ik in dit geval een andere uitkomst uit dan verwacht en kan niet zomaar verklaren wat ik fout gedaan heb. Een beetje hulp hierbij zou handig zijn. Alle belangrijke stappen heb ik uitgetypt.

Heb alle gangbare integratiemethode mee (buiten goniometrische subst.), maar in dit geval leek me het gebruik van partieel integreren juist.

(Boek is Van Basis tot Limiet 6 Leerboek Analyse: Integraalrekening 6/8)

Opgave :

\(\int \cos (x) . \ln (cos (x)) dx\)

Eigen uitwerking:

\( =\int \ln (cos (x)) d(\sin (x))\)

\( = \ln (\cos(x)) . \sin (x) - \int \sin (x) d(ln (cos (x))\)

\( = \ln (\cos(x)) . \sin (x) + \int \sin (x) . \frac{sin (x) }{\cos (x)} dx\)

\(= \ln (\cos(x)) . \sin (x) + \int \frac {\sin^2 (x)}{\cos (x)} dx\)

\(= \ln (\cos(x)) . \sin (x) + \int \frac {1-\cos^2(x)}{\cos (x)} dx\)

\(= \ln (\cos(x)) . \sin (x) + \int \frac {1}{\cos (x)} dx - \int \cos (x) dx\)

\(= \ln (\cos(x)) . \sin (x) + \ln |cos(x)| - \sin (x) +c\)

Uitkomst volgens boek:

\(= \ln (\cos(x)) . \sin (x) + \ln | \tan (\frac {\pi}{4} + \frac{x}{2}) | - \sin (x) + C\)

Buiten die Ln (tan (etc)) zit ik dus eigenlijk juist ? Maar ik heb geen flauw idee waar die tangens en die pi/4 en x/2 vandaan komen ....

Dank bij voorbaat.

[In physics I trust]

Je fout:

\( \int \frac{1}{cos(x)}dx \neq ln \vert cos(x) \vert \)

[VincentW.]

Ja, dat kan niet inderdaad. Nu zie ik misschien de mogelijkheid om een (bij ons zgn. "t-formule" te gebruiken) ?

\( \cos (x) = \frac {1 - t^2}{1 + t^2}\)

waarbij

\( t = \tan (\frac {x}{2})\)

Nu hebben wij deze formule eigenlijk nooit gebruikt bij ons in de les, maar ze lijkt voor mij wel toepasbaar op deze oefening, klopt dat ? Maar zou het gebruik van een andere methode ook nog kunnen dan ?

[In physics I trust]

Ik zou teller en noemer vermenigvuldigen met cos(x).

Vergeet bij je t-substitutie ook niet dt te berekenen (als je ze toepast, ik heb dit niet nagekeken of het gaat).

[VincentW.]

Dat met cos vermenigvuldigen lijkt mij ook makkelijker dan eigenlijk.

\(= \ln (\cos(x)) . \sin (x) + \int \frac {1}{\cos (x)} dx - \int \cos (x) dx\)

\(= \ln (\cos(x)) . \sin (x) - \sin (x) + \int \frac {cos (x)}{cos^2(x)} dx\)

\( = \ln (\cos(x)) . \sin (x) - \sin (x) + \int \frac {cos(x)}{1 - sin^2 (x)} dx \)

\( = \ln (\cos(x)) . \sin (x) - \sin (x) + \int \frac {1}{1 - sin^2 (x)} d(sin (x)) \)

\( = \ln (\cos(x)) . \sin (x) - \sin (x) - \int \frac {1}{sin^2 (x) - 1} d(sin (x)) \)

\( = \ln (\cos(x)) . \sin (x) - \sin (x) - \frac {1}{2} . ln | \frac {sin (x) - 1}{sin(x) + 1} + C |\)

Hoop dat dit al juist is, de aandacht is er ook niet meer de volle 100% bij, het is een zware dag geweest. Hoe k nu van die laatste stap naar de uitkomst in het boek geraak is me nog een raadsel wel...

[In physics I trust]

Ziet er juist uit.

[In physics I trust]

\(\int secx dx\)

\(= \int\frac{ secx (secx + tanx)}{ (secx + tanx) }dx\)

\(= \int \frac{[sec^2x + scx tanx]}{ (secx + tanx)} dx\)

\(= \int \frac{d/dx(secx + tanx)}{ (secx + tanx)} dx\)

\(= ln \vert secx + tanx \vert + C\)

Ik ben nog aan het kijken of het hetzelfde is en indien niet waar de fout zit. Dit is in ieder geval juist.

[In physics I trust]

Welterusten, ik ga er nu niet meer verder op zoeken.

[point]

De methode die 'In fysics I trust' aangaf, die van sec(x)*dx is correct.

Als je het wil oplossen door het te splitsen in partieelbreuken, is je antwoord ook geldig.

Ik ben alleen maat niet zeker of je daar een rekenfoutje gemaakt hebt of niet, ik kom namelijk

\( 0.5* ln\frac{|1+sin(x)|}{|1-sin(x)|} = -0.5* ln\frac{|1-sin(x)|}{|1+sin(x)|}\)

uit, maar aangezien het in absolute waarde staat, maakt het geen verschil voor de uitkomst.

Wil je toch de antwoord van het boek, die volgens mij ook correct is, zo goed mogelijk benaderen, dan zou je inderdaad best de t-formules gebruiken.

Als je weet dat

\(cos(x) = \frac{cos²(\frac{x}{2})-sin²(\frac{x}{2})}{cos²(\frac{x}{2})+sin²(\frac{x}{2})} * \frac{sec²(\frac{x}{2})}{sec²(\frac{x}{2})}} = \frac{1-tan²(\frac{x}{2})}{1+tan²(\frac{x}{2})}\)

Stel nu

\(tan(\frac{x}{2}) = t\)

.

1) Bereken hieruit x in functie van t

2) En leid het af zodanig dat je dx bekomt.

3) Vervang nu cos(x) en dx in je integraal en splits het in partieelbreuken.

Je zal dan weer een 'andere uitkomst' verkrijgen.

Daarbij moet je nog weten dat

\(tan(A+B) = \frac{tan(A)+tan(B)}{1 - tan(A)*tan(B)}\)

Bewijs hiervan ?

\(tan(A+B) = \frac{sin(A+B)}{cos(A+B)} * \frac{\frac{1}{cos(A)cos(B)}}{\frac{1}{cos(A)cos(B)}}\)

Als je dit uitwerkt met behulp van de regel van Simpson, dan bekom je de nodige formule die ik er net boven vermeld heb.

Kies nu A = pi/4 en B = x/2 (zoals in je antwoordenboek staat) en vul dit in in onze formule.

Je zult merken dat dit onze nieuwe antwoord tegemoet komt !

Hopelijk kom je hiermee wel uit, en anders horen we het wel.

Success !

[VincentW.]

Ja, heb me wel kunnen redden, de t-formules hebben wij eigenlijk nog nooit gebruikt dus ik vermoed wel dat een uitkomst tot en met de stap die ik gegeven heb waarschijnlijk wel genoeg zal zijn. Maar goed om te zien dat ik juist zit.

Heb nu nog eens die laatste neperiaanse logaritme bekeken;

De formule die ik gebruik:

\( \int \frac {1}{x^2 - a^2} dx = \frac {1}{2a} . \ln |\frac {x - a}{x + a}|\)

Startend vanaf: (Deze stap is zeker nog juist ?)

\( = \ln (\cos(x)) . \sin (x) - \sin (x) + \int \frac {1}{1 - sin^2 (x)} d(sin (x)) \)

Dan moet je eigenlijk toch (in principe) de sinus positief maken om hem in de bovenstaande formule te kunnen gieten, niet ?

\( = \ln (\cos(x)) . \sin (x) - \sin (x) - \int \frac {1}{sin^2 (x) - 1} d(sin (x)) \)

Dus dan heb ik in bovenstaande stap het teken verandert van de noemer en als gevolg het teken van de integraal in zijn geheel negatief gemaakt. Of klopt dit wiskundig niet ?

\( = \ln (\cos(x)) . \sin (x) - \sin (x) - \frac {1}{2} . ln | \frac {sin (x) - 1}{sin(x) + 1}| + C \)

In de formule gegoten geeft dit toch gewoon de bovenstaande ?

want x - a = sin(x) -1

en x + a =sin (x) +1

niet ?

Nu zit er bij point zijn uitwerking dus we het grote verschil dat enkele tekens (en niet alle tekens) anders zijn, is dat nu te wijten aan een foute uitwerking van mij, of door een verschillende manier van uitwerken en is het normaal omdat uiteindelijk toch dezelfde uitkomst bekomen wordt aangezien het binnen absolute waarde staat ?

[Siron]

Een andere methode om deze integraal zonder t-formules te berekenen:

\(\int \frac{dx}{\cos x}\)

Stel

\(x=\arcsin t\)

dan is

\(dx=\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}\)

Dus ingevuld:

\(\int \frac{\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}}{\cos (\arcsin t)}\)

Nu is

\(\cos(\arcsin t)=\sqrt{1-t^2}\)

Dus wordt de integraal:

\(\int \frac{\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}}{\cos (\arcsin t)}=\int \frac{dx}{1-t^2}=\int\frac{dt}{(t+1)(t-1)}=...\)

Dit zou je kunnen gebruiken als je de t-formules lastiger vindt.

[In physics I trust]

Dat wilde ik ook nog even voorstellen, maar:

Heb alle gangbare integratiemethode mee (buiten goniometrische subst.),

@Vincent: goniometrische substituties worden typisch gebruikt voor uitdrukkingen als a²+x², a²-x², x²-a² onder een wortel.