Vectorruimte

[Nick1]

Als ik wil aantonen dat de verzameling van symmetrische 2x2 matrices een 3-dimensionalevectorruimte vormen. Hoe doe ik dat dan ?

[physicalattraction]

Om aan te tonen dat het een vectorruimte is, ga je aantonen dat u := a*v + b*w, met a en b scalairen uit je lichaam (R of C), en v en w vectoren uit je vectorruimte (dus symmetrische matrices), ook een vector uit je vectorruimte is (dus ook een symmetrische matrix is).

Ik zie wel in dat hij driedimensionaal is, maar weet niet precies hoe dit te bewijzen.

[Drieske]

(Ik veronderstel dat het "vectorruimte"-gedeelte nu lukt?) Om de dimensie te bewijzen, is het het simpelst om een basis te zoeken en te bewijzen dat dit idd een basis. Bekijk hiervoor een willekeurige symmetrische matrix:

\(\begin{pmatrix}a & b \\ b & c\end{pmatrix}\)

met

\(a, b, c \in \rr\)

. Zie je nu geen voor de hand liggende keuze voor basis optreden?

Om dan te bewijzen heb je 2 dingen nodig (die zou je moeten kennen, maar ik zet het hier toch even voor de volledigheid):

-Elke symmetrische 2x2-matrix kan geschreven worden als combinatie hiervan. Maar dit zou je al moeten hebben uit bovenstaande.

-De matrices die je keuze tot basis zijn, moeten lineair onafhankelijk zijn.