Uitwerking integraal

[Citroen]

Hallo,

Ik snap niet hoe men bij volgende stap komt, kan iemand me dit uitleggen?

\(\int^{2 \pi}_0 \sum^{100}_{k=0} | sin(x- \frac{k}{100} \pi) | dx\)

=

\(101( \int^{2 \pi}_0 sin (x) dx)\)

Waarom mag je het somteken vervangen door 101?

Waarom mogen de absolute waarde teken achterwege gelaten worden?

[Safe]

Hallo,

Ik snap niet hoe men bij volgende stap komt, kan iemand me dit uitleggen?

\(\int^{2 \pi}_0 \sum^{100}_{k=0} | sin(x- \frac{k}{100} \pi) | dx\)

=

\(101( \int^{2 \pi}_0 sin (x) dx)\)

Waarom mag je het somteken vervangen door 101?

Waarom mogen de absolute waarde teken achterwege gelaten worden?

Bekijk alleen de som en schrijf de eerste termen eens uit.

[Safe]

Er klopt iets niet, want de integraal in de tweede regel levert 0. Er zou dus 0 uitkomen. En dat kan weer niet, want er worden absolute waarden gesommeerd. Maw de som binnen de integraal (eerste regel) is positief.

[Drieske]

Verplaatst naar Analyse.

Zoals Safe reeds zegt: Er klopt inderdaad iets niet... Zeker dat de absolute waardes wegvallen?

[Xenion]

De integraal berekent de oppervlakte onder een curve en de sinussen in de som verschillen enkel in fase. Geven die aparte termen dan een verschillende waarde? Zoals hierboven al vermeld wordt, zou die absolute waarde wel niet mogen verdwijnen.

[Jekke]

\(\int^{2 \pi}_0 \sum^{100}_{k=0} | sin(x- \frac{k}{100} \pi) | dx = 100 \int^{2 \pi}_0 | sin (x) | dx = 400\)

dit is alvast de juiste gelijkheid, zal me later eens bezinnen over waarom ze opgaat

[Drieske]

\(\int^{2 \pi}_0 \sum^{100}_{k=0} | sin(x- \frac{k}{100} \pi) | dx = 100 \int^{2 \pi}_0 | sin (x) | dx = 400\)

dit is alvast de juiste gelijkheid, zal me later eens bezinnen over waarom ze opgaat

Nou, nee, dit is niet de juiste gelijkheid. Er moet 101 staan, daar k van 0 tot 100 loopt. En waarom ze opgaat, is vrij triviaal, maar zal ik nog even achterwege laten. Hint: het heeft te maken met integraal en som van plaats wisselen .

[Jekke]

Nou, nee, dit is niet de juiste gelijkheid. Er moet 101 staan, daar k van 0 tot 100 loopt.

Ik wil heus vertrouwen dat je meer inzicht hebt in de vergelijking dan ik. Anderzijds vertrouw ik ook Maple, en die zegt dat het 100 moet zijn:

Untitled 887 keer bekeken

?

[Drieske]

In maple loopt k dan ook van 1 tot 100 ipv 0 tot 100?

[Jekke]

ok, dom van me

[Safe]

Waar blijft Citroen?

[Citroen]

Verplaatst naar Analyse.

Zoals Safe reeds zegt: Er klopt inderdaad iets niet... Zeker dat de absolute waardes wegvallen?

Ik heb dit uit iemand anders zijn notities, dus ik ben dit helemaal niet zeker, aangezien hij ook student is.

Nou, nee, dit is niet de juiste gelijkheid. Er moet 101 staan, daar k van 0 tot 100 loopt. En waarom ze opgaat, is vrij triviaal, maar zal ik nog even achterwege laten. Hint: het heeft te maken met integraal en som van plaats wisselen .

Je kan toch niet zomaar een somteken wisselen met het integraalteken?

Ik zou de stap begrijpen indien k/1 was en niet op 100 dan zou het volgens mij liggen aan het feit dat de sinus gewoon van teken wisselt als je er pi vanaf trekt. De absolute waarde doet dit echter teniet dus kan je gewoon de sommatie vervangen door 101x. Maar ik zie niet in dat dit kan kloppen met die k/100...

[Jekke]

Je kan toch niet zomaar een somteken wisselen met het integraalteken?

Weet je wat lineariteit van een operator is? Is de integraaloperator lineair?

[Drieske]

Zoals holycow reeds aangeeft, komt dit neer op lineairiteit van de integraal. Ken je die niet, je kunt ze dan ook bewijzen . Bij een eindige som is er dus nooit een probleem. Bij een oneindige som ligt dat wel anders .

[Citroen]

Weet je wat lineariteit van een operator is? Is de integraaloperator lineair?

Nog niet van gehoord. Interpreteer ik dit zo

\(\int (rv + sw) dx = r \int vdx + s \int wdx\)

?