Dimensie van isomorfe vectorruimten

[Siron]

In een bewijs kwam ik het volgende tegen:

Twee isomorfe vectorruimten hebben dezelfde dimensie.

Ik heb echter geen idee hoe dit te bewijzen. Iemand een hint?

[Safe]

Hoe kunnen ze anders isomorf zijn?

[kee]

Ben je hier iets mee?

http://en.wikipedia.org/wiki/Rank–nullity_theorem

[Drieske]

Hoe kunnen ze anders isomorf zijn?

Het is niet omdat iets evident waar is, dat er geen bewijs aan vast hangt.

Je hebt twee pijlen te bewijzen. Stel dat ze van gelijke dimensie zijn. Kun je dan een isomorfisme 'verzinnen' dat werkt?

Verplaatst naar Lineaire Algebra.

[Safe]

Het is niet omdat iets evident waar is, dat er geen bewijs aan vast hangt.

Je hebt twee pijlen te bewijzen. Stel dat ze van gelijke dimensie zijn. Kun je dan een isomorfisme 'verzinnen' dat werkt?

Verplaatst naar Lineaire Algebra.

Het is niet omdat iets evident waar is, dat er geen bewijs aan vast hangt.

Dat werd door de TS niet gevraagd ...

[TD]

Je kan bv. ook tonen dat een isomorfisme van V naar W een basis van V steeds omzet in een basis van W (dus lin. onafh. in V, wordt afgebeeld op lin. onafh. in W en een voortbrengend stel in V wordt afgebeeld op een voortbrengend stel in W). Het aantal elementen van een (en dus van 'elke') basis verandert niet, de dimensie dus ook niet.

[Drieske]

Dat werd door de TS niet gevraagd ...

Je bedoelt dat TS enkel naar één richting vroeg (die waarvoor TD een schets heeft gegeven)? Dat klopt inderdaad . Het leek me gewoon nuttig om beiden in te zien. Niet als bezigheidstherapie maar omdat het vaak helpt voor het inzicht te scherpen.

[Siron]

Ik wil het op de manier van TD en Drieske allebei wel eens proberen.

Twee beweringen te bewijzen:

Als V en W isomorfe vectorruimten zijn dan hebben ze dezelfde dimensie. (1)

Als V en W dezelfde dimensie hebben dan zijn ze isomorf. (2)

Bewering (2)

Als V en W dezelfde dimensie hebben d.w.z ze evenveel basisvectoren hebben. Nu moet ik dus een lineaire afbeelding

\(f: V \to W\)

die bijectief is zoeken. Stel dat

\(\{a_1, a_2, ..., a_n\}\)

een basis is voor V en

\(\{b_1,b_2,...,b_n\}\)

een basis is voor W. Moet ik dan nu een lineaire afbeelding constueren waarbij elke basisvector uit W een origineel heeft in de basis van V? Of niet? Hoe pak ik dit het beste aan?

[Drieske]

Bewering (2)

Als V en W dezelfde dimensie hebben d.w.z ze evenveel basisvectoren hebben. Nu moet ik dus een lineaire afbeelding

\(f: V \to W\)

die bijectief is zoeken. Stel dat

\(\{a_1, a_2, ..., a_n\}\)

een basis is voor V en

\(\{b_1,b_2,...,b_n\}\)

een basis is voor W. Moet ik dan nu een lineaire afbeelding constueren waarbij elke basisvector uit W een origineel heeft in de basis van V? Of niet? Hoe pak ik dit het beste aan?

Ben je het ermee eens dat het volstaat om te bewijzen dat je een isomorfisme van V naar

\(\rr^n\)

kunt construeren? En idem voor W uiteraard.

[Siron]

Ben je het ermee eens dat het volstaat om te bewijzen dat je een isomorfisme van V naar

\(\rr^n\)

kunt construeren? En idem voor W uiteraard.

Waarom^de keuze

\(\rr^n\)

? (dit doet me licht denken aan de kanonieke basis, of moeten we daar niet mee werken?). Ik zie niet direct hoe ik met deze gegevens verder ga, nog een hint zou welkom zijn .

[Drieske]

Tja,

\(\rr^n\)

moet niet hoor. Het kan ook daar zonder (liever rechtstreeks? Zeg het dan nu, zou ik zeggen ). Het is gewoon een makkelijke afbeelding. Een hint, zonder verklappen, moeilijk, maar een poging: op wat kun je

\(\lambda_1 a_1 + \cdots + \lambda_n a_n\)

afbeelden in

\(\rr^n\)

? Deze hint hier (hoe vaag ook), geldt btw ook mocht je toch verderwillen met de andere afbeelding.

[Siron]

Tja,

\(\rr^n\)

moet niet hoor. Het kan ook daar zonder (liever rechtstreeks? Zeg het dan nu, zou ik zeggen ). Het is gewoon een makkelijke afbeelding. Een hint, zonder verklappen, moeilijk, maar een poging: op wat kun je

\(\lambda_1 a_1 + \cdots + \lambda_n a_n\)

afbeelden in

\(\rr^n\)

? Deze hint hier (hoe vaag ook), geldt btw ook mocht je toch verderwillen met de andere afbeelding.

Ik geraak er nog steeds niet uit, kan je me nog verder helpen?

[Drieske]

Beschouw volgende afbeelding:

\(\lambda_1 a_1 + \cdots + \lambda_n a_n \mapsto (\lambda_1, \cdots, \lambda_n)\)

. Normaal geraak je er nu wel?

Als vraag aan jou: welke afbeelding, hierop geïnspireerd zou je kunnen gebruiken om rechtstreeks van V naar W te gaan?

[Siron]

Beschouw volgende afbeelding:

\(\lambda_1 a_1 + \cdots + \lambda_n a_n \mapsto (\lambda_1, \cdots, \lambda_n)\)

. Normaal geraak je er nu wel?

Als vraag aan jou: welke afbeelding, hierop geïnspireerd zou je kunnen gebruiken om rechtstreeks van V naar W te gaan?

Ik denk dat ik nu beter kan volgen welke lineaire afbeelding je hier bedoelt (vandaag een les gehad over matrixvoorstelling van lineaire afbeelding e.d)

Ik had gezegd, zij

\(\{a_1,...,a_n\}\)

een basis voor V en zij

\(\{b_1,...,b_m\}\)

een basis voor W.

(en

\(f: V \to W)\)

Definieer:

\(\mbox{co_1}: V \to K^n: v=\lambda_1a_1+...+\lambda_na_n \mapsto \mbox{co_1}(v)= (\lambda_1,...,\lambda_n)\)

Definieer:

\(\mbox{co_2}: W \to K^m: w=\gamma_1b_1+....\gamma_mb_m \mapsto \mbox{co_2}(w)= (\gamma_1,....\gamma_m)\)

Zou het nu handig zijn om

\(f\)

te schrijven als een samenstelling van de functies

\(\mbox{co_1,co_2}\)

?

[Drieske]

Een beetje nodeloos ingewikkeld vind ik, maar voor daar verder op in te gaan: geraak je er met die afbeelding naar je veld K (tot de juiste macht)?