Logaritmische functie herleiden

[MrPepper]

Hee forumgangers, ik zit momenteel vast bij het oplossen van een logaritmische functie. Het betreft de volgende:

\(\log_{10}(x^4) + (\log_{10}(x))^3 = 4.(log_{10}(x))^2\)

Nu lijkt mij de juiste aanpak de twee functies aan de linkerzijde herleiden tot 1 logaritme met het grondtal 10 en aan de rechterzijde het logaritme ook te herleiden tot een logaritme tot de tiende macht (wat het al is) met de 4 en het kwadraatteken weggewerkt.

Hier kom ik dan ook niet verder, hoe werk je machttekens zoals in

\( (\log_{10}(x))^3\)

weg? En bijvoorbeeld het kwadraatteken in

\(4.(log_{10}(x))^2\)

weg? Ik vind namelijk nergens rekenregels die ik hier op kan toepassen...

Ik hoop dat jullie mij in de goede richting kunnen helpen!

[Safe]

\(\log_{10}(x^4) + (\log_{10}(x))^3 = 4.(log_{10}(x))^2\)

Stel

\( \log_{10}(x)=y\)

wat komt er dan te staan ...

[MrPepper]

Stel

\( \log_{10}(x)=y\)

wat komt er dan te staan ...

\(10^Y = X\)

? (Ik snap je hint niet helemaal, moet ik

\(\log_{10}(x)=y\)

invullen in mijn functie?

[Safe]

Nee, als je de hint wil volgen, wat is dan (ik laat het grondtal weg):

\(\log(x^4)=...\)

[MrPepper]

\(\log(x^4)=4.\log(x) \)

Maar kan je stellen dat

\(\log(x^4) = (\log(x))^4\)

?

[Siron]

\(\log(x^4)=4.\log(x) \)

?

Nee dat is niet hetzelfde, immers:

\(\log(x^4)=\log(x\cdot x\cdot x\cdot x)=\log(x)+\log(x)+\log(x)+\log(x)=4\log(x)\)

\([\log(x)]^4=\log(x)\cdot \log(x)\cdot \log(x)\cdot \log(x)\)

Voer de substitutie uit die Safe aangaf dan kan je de logaritmische vergelijking herleiden tot ....?

[Safe]

\(\log(x^4)=4.\log(x) \)

Maar kan je stellen dat

\(\log(x^4) = (\log(x))^4\)

?

Wat mij betreft had je zelf moeten aantonen dat dat niet kan door (simpelweg) die substitutie uit te voeren ...

[MrPepper]

Ah ik snap hem, ik had niet begrepen dat je een substitutie bedoelde. Waarschijnlijk overheen gelezen!

Door y = log(x) te substitueren bekom ik de volgende formule

\(y^3-4y^2+4y=0\)

. Als ik dit uitwerk krijg ik x=1 of x=100, bedankt heren!

[Safe]

Heel goed, gefeliciteerd!