Som herleiden na logaritmisch afleiden

[MrPepper]

Ik loop momenteel stuk op de volgende huiswerkopgave, kan iemand me helpen? Het betreft de onderstaande som:

\(y=\frac{1}{x}^{(2x+1)}\)

-> ln gebruiken om de machten te verwijderen geeft:

\(\ln y = (2x+1) . \ln\frac{1}{x}\)

-> Afleiden geeft:

\(\frac{1}{y}.y' = 2\ln\frac{1}{x}+(2x+1).[\ln\frac{1}{x}]' = 2\ln\frac{1}{x}+(2x+1).-x^{-1} \)

(Immers,

\([\ln\frac{1}{x}]'=\frac{1}{\frac{1}{x}}.-x^{-2}=-x^{-1}\)

)

-> Herleiden geeft:

\(y'=\frac{1}{x}^{(2x+1)}.2\ln\frac{1}{x}-2-x^{-1} = \frac{1}{x}^{(2x+1)}.2\ln\frac{1}{x}-\frac{2x-1}{x}\)

Dat was in ieder geval wat ik dacht, toch lijkt het antwoord niet bepaald op dat uit mijn antwoorden model. Kan iemand aangeven waar ik verkeerd zit?

[Siron]

Vertrek eens van:

\(y=\frac{1}{x}^{(2x+1)}\)

\(\Leftrightarrow y=e^{\ln\left[\frac{1}{x}^{(2x+1)}\right]}\)

(begrijp je deze stap?)

Bepaal nu eens de afgeleide.

[MrPepper]

Ik begrijp die stap (de mathematische logica ervan dan, ik begrijp niet hoe het er op deze manier eenvoudiger van wordt).

Als ik het goed begrijp bepaal je de afgeleide nu (weer) met behulp van de kettingregel, dit is volgens mij:

\(e.[\ln^{\frac{1}{x}^{(2x+1)}}]'\)

Maar dat brengt mij toch weer bij een soortgelijke som als in het begin?

[Safe]

\(y'=\frac{1}{x}^{(2x+1)}.2\ln\frac{1}{x}-2-x^{-1} = \frac{1}{x}^{(2x+1)}(2\ln\frac{1}{x}-\frac{2x-1}{x})\)

Je vergat dus haakjes ...

Wat kan je schrijven voor:

\(\ln\left(\frac{1}{x}\right)\)

Waarom laat je

\(\frac{1}{x}^{(2x+1)}\)

staan?

[MrPepper]

Je vergat dus haakjes ...

Wat kan je schrijven voor:

\(\ln\left(\frac{1}{x}\right)\)

Waarom laat je

\(\frac{1}{x}^{(2x+1)}\)

staan?

Ah ik vat hem!

\(\ln\left(\frac{1}{x}\right) = \ln\left(x^{-1}\right) = -\ln\left(x\right)\)

Ik had

\(\frac{1}{x}^{(2x+1)}\)

laten staan omdat ik zag dat ik al fout zout met minnen, maar de oorzaak daarvan heb ik nu dus gevonden.

Bedankt!

[Safe]

Ok, maar je had de functie:

\(y=x^{-(2x+1)}\)

kunnen afleiden naar x ...

Het is maar wat je het eenvoudigst vindt.