Snijpunten van de diagonalen van een veelhoek

[Shadow]

Hallo,

laatst bij een wiskunde-opdracht moest ik het aantal snijpunten van de 54 diagonalen van een 12-hoek berekenen.

Ik kwam er maar niet aan uit, en heb uiteindelijk de (waarschijnlijk 289?) snijpunten maar gewoon geteld xD

Maar wat ik me afvraag is... zijn er meerdere formules (of één) die je kunt toepassen om het aantal snijpunten te berekenen?

[attachment=9008:Dodecago...allpaper.gif]

Ja... ik had al wel iets vaags met het getal 8 (zie kleuren xD)

maar ver kom ik niet xD

Ow, en ik wist trouwens niet of het handig zou zijn om eerst vanuit bv. een 6-hoek te werken?

[hanzwan]

Een lastige opgave in een gebied waar ik niet veel van weet, maar wilde toch even reageren omdat ik laatst een probleem ben tegengekomen dat er (misschien) een beetje op lijkt. Het probleem werd gepost op de NY Times Numberplay pagina,

De reactie van Marko M. (2de reactie) helpt misschien. Hij gebruikt de algemeen formule van Euler in N^2-space waar V-E+F = 1. Zijn uitwerking /toelichting kan je wellicht helpen. Zo niet, excuses.

http://wordplay.blogs.nytimes.com/2011/11/...issing-slice-2/

[Drieske]

Er zijn zeer zeker algemene formules voor. Bijv deze paper kan je helpen. En dit is quasi hetzelfde.

Wel interessant, moet ik zeggen!

Overigens verplaats ik dit naar Meetkunde .

[317070]

laatst bij een wiskunde-opdracht moest ik het aantal snijpunten van de 54 diagonalen van een 12-hoek berekenen.

Niet onbelangrijk, gaat de vraag over een regelmatige 12-hoek, of gaat het over een onregelmatige 12 hoek?

[Neutra]

gaat de vraag over een onregelmatige 12 hoek

Dan kan het gebeuren dat drie of zelfs meer lijnen door één punt gaan. Dat verlaagt dan het aantal snijpunten.

Dat gebeurt ook al bij de regelmatige n-hoek.

[physicalattraction]

Wanneer ik de formule uit Drieske's paper invul voor n=12, komt er 337 uit.

Wolfram Alpha

Wanneer ik de paper lees, vind ik het ook erg ambitieus om als middelbare scholier (?) zelf uit te vogelen. Misschien was het wel de bedoeling om de literatuur in te duiken.

[317070]

Wanneer ik de paper lees, vind ik het ook erg ambitieus om als middelbare scholier (?) zelf uit te vogelen. Misschien was het wel de bedoeling om de literatuur in te duiken.

Als de figuur gegeven is, moet je enkel de punten in 1 spie tellen, x12 + 1 voor het middelpunt.

Niet zo moeilijk dus.

Overigens zou bij een algemene convexe niet-regelmatige veelhoek het aantal snijpunten sterk stijgen.

[physicalattraction]

Als de figuur gegeven is, moet je enkel de punten in 1 spie tellen, x12 + 1 voor het middelpunt. Niet zo moeilijk dus.

Dan komt er ook 337 uit, maar dan ontgaat me de wiskunde erachter eigenlijk wel een beetje.

Overigens zou bij een algemene convexe niet-regelmatige veelhoek het aantal snijpunten sterk stijgen.

Wanneer alle snijpunten die nu samenvallen dat niet meer doen (dus de meest onregelmatige 12-hoek), dan zou je inderdaad 495 snijpunten hebben.

[sirius]

Hmm... Ik kom op 26 punten in een partje. 12*26+1 is niet gelijk aan 337. Ik kom nog twee punten te kort in het partje. Ik heb net ook physical attraction laten tellen en die komt ook maar op 26...

Voor mensen die mee willen tellen, volgens de rode punten zouden alle snijpunten in een partje moeten aangeven.

Heeft iemand enig idee hoe we verkeerd tellen? of heeft physical attraction de formule onjuist toegepast?

[attachment=9079:Dodecago...allpaper.gif]

[317070]

Heeft iemand enig idee hoe we verkeerd tellen? of heeft physical attraction de formule onjuist toegepast?

Nee, dat is het probleem met mijn methode. Je hebt een goede figuur nodig en moet nog steeds nadenken over wat de snijpunten precies zijn. (ik heb hier vroeger ook al verkeerd in gegaan ).

Je moet erg goed kijken, maar het omcirkelde punt heeft eigenlijk 4 snijpunten. De 4 lijnen gaan niet door 1 punt. Dat is de mathematische clou in de vraag waarschijnlijk. (kun je berekenen) Daarnaast heb je nu een hoekpunt ook meegeteld, terwijl dat eigenlijk geen snijpunt is binnen de figuur.

Er is ook nog een punt waarvan het niet-triviaal is om aan te tonen dat de 3 lijnen (deze keer wel) door 1 punt gaan.

Op die manier kom je dus wel aan 28 punten.

WSF1 2310 keer bekeken