Kortste weg in een gekromde ruimte

[Paul_1968]

In de theorie van de Algemene Relativiteit heb ik al op verschillende plaatsen gelezen dat

(1) massa's in een gravitatieveld gekromde banen volgen omdat dat de kortste weg zou zijn. ( Alsof die massa's de langere wegen al verkend zouden kunnen hebben )

Dit wordt dan voorgesteld als een baan over het oppervlak van een bol.

(2) Dat vlak is gekromd en dwingt de massa in een langere (?!) weg dan de kortere weg recht door de bol.

Deze twee (1) en (2) zinnen lijken elkaar al tegen te spreken, maar ik vind het nog verwarrender worden als er dan wordt gesproken over gekromde spacetime en gekromde banen in de zichtbare ruimte in een gravitatieveld.

Ik begrijp het niet goed en daarom wil ik een vraag stellen.

Wanneer een bal wordt losgelaten van een toren gaat die versneld naar beneden bewegen.

Spreken we dan in de ART van een gekromde baan, omdat spacetime is gekromd, terwijl het eruit ziet als een rechte ?

En hoe kun je dit dan vergelijken met de baan op het boloppervlak ? Is er dan nog een kortere weg dan die rechte lijn van de toren naar beneden ?

[mathfreak]

Even wat achtergrondinformatie met betrekking tot de ontwikkeling van de algemene relativiteitstheorie: doel van Einstein was om de speciale relativiteitstheorie uit 1905 uit te breiden door er ook de zwaartekracht bij te betrekken. Dit leverde als eerste probleem op dat de lichtsnelheid niet langer constant bleef. Bovendien bleek ook de gewone (Euclidische) meetkunde niet toereikend om de relativiteitstheorie verder uit te breiden, vandaar dat Einstein met behulp van oud-medestudent en wiskundige Marcel Grossmann besloot om gebruik te maken van de meetkunde die in 1854 door de Duitse wiskundige Bernhard Riemann was geïntroduceerd. De algemene relativiteitstheorie gebruikt de vierdimensionale meetkunde van Riemann als wiskundige basis, waarbij de ruimtetijd een vierdimensionale Riemannvariëteit voorstelt. Dit is een vierdimensionale gekromde ruimte waarbij de kromming bepaald wordt door de zogenaamde krommingstensor. Doordat de kromming in een Riemannvariëteit niet nul is zoals dat bij de Euclidische meetkunde wel het geval is, wordt de kortste afstand tussen 2 punten in een Riemannvariëteit niet meer een recht lijnstuk, maar een geodeet, dus een gekromd lijnstuk. De zwaartekracht is in de algemene relativiteitstheorie niet meer een kracht in de klassiek-mechanische zin van het woord, maar is een meetkundige manifestatie van de ruimtetijd. Onder invloed van de aanwezige massa zal de ruimtetijd zodanig worden gekromd dat ieder object in een zwaartekrachtveld volgens een bepaalde geodeet van het ene punt naar het andere beweegt.

[Paul_1968]

Alvast hartelijk dank voor je achtergrondinformatie. Dit helpt me al een stukje verder op weg, geloof ik.

Ik ga nu proberen mijn vragen hiermee te beantwoorden.

Wat zeker nieuw voor mij is, is dat eerste probleem dat Einstein tegenkwam en dat maakt voor mij al veel meer duidelijk.

Weet je misschien waar ik dit eerste probleem in de literatuur terug kan vinden ?

Dit leverde als eerste probleem op dat de lichtsnelheid niet langer constant bleef.

Ik heb nog wel moeite om me een voorstelling te maken bij dit stukje.

Doordat de kromming in een Riemannvariëteit niet nul is zoals dat bij de Euclidische meetkunde wel het geval is, wordt de kortste afstand tussen 2 punten in een Riemannvariëteit niet meer een recht lijnstuk, maar een geodeet, dus een gekromd lijnstuk.

Bestaan er dan ook geodeten met een kromming = 0 ?

Ik bedoel : Mag je een rechte een speciaal geval van een kromme noemen ?

( Of is dit nu lettergeneuzel ? )

[mathfreak]

Wat zeker nieuw voor mij is, is dat eerste probleem dat Einstein tegenkwam en dat maakt voor mij al veel meer duidelijk.

Weet je misschien waar ik dit eerste probleem in de literatuur terug kan vinden ?

Walter Isaacson besteedt in zijn biografie over Einstein ook aandacht aan Einsteins wetenschappelijke ontdekkingen, dus dat is misschien wel een interessante bron voor je.

Bestaan er dan ook geodeten met een kromming = 0 ?

Ik bedoel : Mag je een rechte een speciaal geval van een kromme noemen ?

( Of is dit nu lettergeneuzel ? )

Je mag een rechte inderdaad een speciaal geval van een kromme noemen, dus zo'n rechte is dan een geodeet met een kromming = 0.

[peterdevis]

Paul,

het is heel erg moeilijk om je een voorstelling te maken van een 4 dimensionaal (en zelfs van een 3 dimensionaal) gekromde ruimte.

Om toch wat inzicht te verwerven moet je daarom terugvallen op een twee dimensionaal gekromde ruimte.

Ons eigen aardoppervlak (de bol) is hier een prachtig voorbeeld van.

Er is echter nog 1 addertje onder het gras, je moet namelijk dit boloppervlak inbeelden zonder de derde dimensie.

In de literatuur gebruiken ze hier dikwijls de platlander voor. Een wezen dat op dit oppervlak woont en niet naar beneden of boven kan kijken. Voor hem is de rechte lijn een geodeet over het oppervlak (een geodeet is de korste afstand tussen 2 punten over een oppervlak.

In dit model is bv ook verklaarbaar dat een ruimte eindig maar onbegrensd kan zijn. Het boloppervlak is immers van een bepaalde grote, maar heeft nergens een begrenzing (denk eraan de derde dimensie bestaat niet!)

Ook de uitzetting van het heelal is in dit model aanschouwelijk voor te stellen. Dit is alsof de bol opgeblazen wordt, alleen moet je weeral voorstellen dat die derde dimensie er niet is.

[physicalattraction]

Als je bovenstaande wil visualiseren, kijk dan even in deze topic.

[Paul_1968]

het is heel erg moeilijk om je een voorstelling te maken van een 4 dimensionaal (en zelfs van een 3 dimensionaal) gekromde ruimte.

Dat weet ik en daarom ben ik op zoek gegaan naar een manier waarop ik het me wel kan voorstellen, zonder addertjes.

Voorlopig ben ik tevreden met een voorstelling waarbij aan de Euclidische ruimte alleen een eigenschap van de ruimte wordt toegevoegd : De dichtheid van de ruimte.

De variatie in die dichtheid moet de rol van de kromming spelen. Ik realiseer me dat het voor wetenschappers een uitdaging zal zijn om aan te tonen dat mijn visualisatie niet strookt met de RT, maar ik kan zelf nog geen inconsistenties vinden. ( Het begrip Spacetime is gewoon op dezelfde manier gebruiken. )

Ik ben geen professional en heb daarom ook niet veel te verliezen. Voor mij heeft het al iets opgeleverd en ik ben benieuwd of er meer mensen zijn die iets zien in dit idee.

Wanneer het klopt wat mathreak schrijft over de rechte geodeet, dan zie ik nog geen probleem.

Er is geen kortere weg dan de rechte lijn uit de Euclidische ruimte.

Banen van deeltjes lopen meestal niet recht.

een geodeet is de korste afstand tussen 2 punten over een oppervlak.

Ik heb (zoals de meeste stervelingen) dus moeite met het wegtoveren van die derde dimensie.

Een bal kunnen we ons wel voorstellen, maar wat is de relatie met de ruimte ? Daar gaat het toch mis ?

Of hebben hier de meesten geen moeite mee ?

Als je bovenstaande wil visualiseren, kijk dan even in deze topic.

Daar heb ik ook al gekeken. Tnx

[Michel Uphoff]

Er is geen kortere weg dan de rechte lijn uit de Euclidische ruimte.

En dat is toch echt onjuist. Hoe tegendraads het ook klinkt, de lengte van een 'euclidisch' rechte lijn tussen twee punten is groter dan een lijn die de kromming van de tijdruimte volgt. Een ruimteschip dat langs een voor ons snaarstrakke rechte lijn reist volgt in feite perfect de kromming van de tijdruimte, net zoals het licht waardoor wij die raket kunnen volgen doet. Wij kunnen die kromming dus nooit zien want die bevindt zich een dimensie hoger dan wij driedimensionalen zijn.

Stel je nogmaals die tweedimensionale platlander voor: Hij is plat en heeft geen weet van hoogte of diepte, alleen van lengte en breedte. Hij kan dan ook onmogelijk waarnemen dat hij in werkelijkheid op een bol leeft (de kromming van het oppervlak is voor hem niet waar te nemen, net zoals wij de vierde dimensie en de kromming van de tijdruimte niet kunnen waarnemen). De platlander is ervan overtuigd dat hij een kaarsrechte lijn volgt op een volkomen plat vlak zonder grenzen. Wij weten beter.

Als ik een knikker over een volkomen vlakke tafel zou rollen volgt hij een rechte lijn. Maar stel je een trampoline voor, met in het midden een zware bowlingbal. Het rubber van de trampoline zakt uit, kromt zich door het grote gewicht van die bal, net als de tijdruimte. Als ik nu een knikker zijwaarts over het rubber laat rollen, zal hij rond die bowlingbal gaan draaien. Als je de bowlingbal vervangt door de Zon (die de tijdruimte door zijn grote massa kromt) en die knikker door de Aarde, dan zie je dat de Aarde de kortste weg in die gekromde ruimte gaat volgen en dus een baan om de Zon draait. Men zou extra energie moeten toevoegen om de Aarde in een rechte lijn over dat gekromde vlak te laten gaan, net zoals het extra energie zou kosten om een raket een euclidsch rechte lijn in een gekromde tijdruimte te laten volgen.

[Paul_1968]

Is er misschien een kortere weg in gekromde spacetime dan in die zonder kromming omdat de ruimte uitgerekt is en de Plancklengtes daarom groter worden ? Er passen er dan minder in dezelfde ruimte en daarom lijkt die weg door de ruimte korter ?

( Dus alleen vanuit het kader van de spacetime bekeken lijkt de weg dan korter te worden ? )

Die aarde om de zon kan toch ook recht naar de zon bewegen ? Dan is hij er veel sneller doordat de weg korter is.

Die ellypsen ontstaan toch door een evenwicht tussen beweging en kromming ?

Wanneer ik iets laat vallen laat dat volgens mij de richting van de kromming zien : naar beneden.

(Ik weet dat ik hierover nog geen literatuur beschikbaar heb)

[peterdevis]

En dat is toch echt onjuist. Hoe tegendraads het ook klinkt, de lengte van een 'euclidisch' rechte lijn tussen twee punten is groter dan een lijn die de kromming van de tijdruimte volgt.

Dit is onjuist. Als we spreken over een kortste afstand, moet je aangeven in welke ruimte je aan het werken bent.

Als we in een oppervlak werken (2 dimensies) kun je geen baan nemen die buiten dit vlak ligt. De kortste weg is dus steeds een geodeet (dit is nl. juist de definitie van een geodeet). In het platte vlak (euclidisch) zijn geodeten rechten; In een gekromd vlak hoeft dit niet zo te zijn.

Is er misschien een kortere weg in gekromde spacetime dan in die zonder kromming

Neen in de ART gaan we uit van een 4 dimensionale ruimte. Het is deze ruimte die gekromd is. Een object beweegt dan ook op een 4-dimensionale geodeet. M.a.w. er is ook "kromming" in de tijdsdimensie.

Die aarde om de zon kan toch ook recht naar de zon bewegen ?

Hier verwar je kortste weg met doel. De aarde volgt een geodeet, maar is niet noodzakelijk (gelukkig maar ) op weg naar de zon. je kan het zo stellen door 1 punt lopen oneindig veel geodeten (net zoals in het vlak door 1 punt oneindig veel rechten zijn. Welke geodeet door een object gevolgd wordt is afhankelijk van zijn snelheid en richting.

[Paul_1968]

Dit is onjuist...

Is er misschien een kortere weg in gekromde spacetime dan in die zonder kromming

... Neen in de ART gaan we uit van een 4 dimensionale ruimte. Het is deze ruimte die gekromd is. Een object beweegt dan ook op een 4-dimensionale geodeet. Maw er is ook "kromming" in de tijdsdimensie.

Die aarde om de zon kan toch ook recht naar de zon bewegen ?

Hier verwar je korste weg met doel. ...

... Welke geodeet door een object gevolgd wordt is afhankelijk van zijn snelheid en richting.

Ik ben blij met deze laatste bijdrage. Hierdoor begrijp ik het weer een beetje.

[Michel Uphoff]

De korste weg is dus steeds een geodeet.

Dat is de reden waarom ik euclidisch tussen aanhalingstekens zette, je kan zulke lijnen niet trekken in een gekromde ruimte; iedere poging dat wel te doen zal leiden tot een langere weg.

[Neutra]

Wanneer een bal wordt losgelaten van een toren gaat die versneld naar beneden bewegen.

Spreken we dan in de ART van een gekromde baan, omdat spacetime is gekromd, terwijl het eruit ziet als een rechte ?

En hoe kun je dit dan vergelijken met de baan op het boloppervlak ? Is er dan nog een kortere weg dan die rechte lijn van de toren naar beneden ?

De vorm van de baan hangt kennelijk af van de waarnemer en in welk referentiekader hij zich bevindt.

Een waarnemer die mee naar beneden valt ziet zelfs rust.

'Kortste afstand' vereist metriek en je kunt je afvragen, of die in verschillende dimensies vergelijkbaar is/zijn.

[peterdevis]

'Kortste afstand' vereist metriek en je kunt je afvragen, of die in verschillende dimensies vergelijkbaar is/zijn.

Opletten met de term dimensies. De metriek 'beschrijft 'hoe lengtes gemeten worden in de beschouwde ruimte. Dit wil zeggen dat de metriek een term bevat voor elke dimensie.

Als je van het ene assenstelsel overstapt naar een ander assenstelsel, transformeert de metriek mee.

[Neutra]

De metriek 'beschrijft 'hoe lengtes gemeten worden in de beschouwde ruimte. Dit wil zeggen dat de metriek een term bevat voor elke dimensie.

Kunt u dit nader toelichten?

Als je van het ene assenstelsel overstapt naar een ander assenstelsel, transformeert de metriek mee.

Sterker nog, dan verandert die niet.