Puzzel Kansberedeneren met Deuren.

[MvM]

Hallo,

Ik heb vorige week een opgave gekregen van mijn leraar wiskunde, maar ik kom er maar niet uit. Kunnen jullie misschien helpen?

Hier komt de opgave:

Het hoogtepunt van een quiz nadert. De quizmaster leidt je naar een wand met drie gesloten deuren. Achter een van de deuren staat de auto van je dromen, terwijl achter elk van de andere twee deuren een oude fiets staat. Je kiest voor een deur. De quizmaster, die weet wat er achter elk van de deuren staat en die je helpen wil, opent van de twee overgebleven deuren een deur waarachter een oude fiets blijkt te staan.

Vervolgens geeft de quizmaster je de gelegenheid nog van deur te veranderen.

Verhoog je de kans om de auto te winnen als je van deur verandert ???

Geef uitleg bij je antwoord.

[Brownie]

Dezelfde vraag is mij ook eens gesteld. Het is antwoord is, hoe onwaarschijnlijk ook, JA.

Ik kan de uitleg helaas niet zo een-twee-drie te voorschijn toveren.

[Rogier]

Is al vaker aan de orde geweest.

Vergelijk het eens met de situatie dat er niet drie, maar honderd deuren zijn. Jij kiest er één, vervolgens opent de quizmaster (die weet waar de prijs zit) er 98, en laat jou dan kiezen tussen jouw oorspronkelijke deur of de ene die over is.

Vind je het nu ook onwaarschijnlijk dat je (veel) meer kans hebt om te winnen als je wisselt?

[Bert]

Het antwoord is: wisselen want de kans om dan de auto te winnen is 2/3. Deze vraag is vorig jaar in de wetenschapsquiz gesteld (met rode en witte ballen in plaats van auto's en fietsen).

[zpidermen]

Volgens mij maakt het geen drol uit of je van deur wisselt. Het lijtk wel alsof de kans groter wordt dat je de goeie deur kiest, maar dat is slechts schijnt. Wat gebeurt er namelijk als de quizmaster een van de deuren opent die je niet had gekozen? Dan verandert de vraag! En dus ook je kansen! In plaats van dat je nu moet kiezen tussen 3 deuren (per deur heb je dus een kans van 33% dat je de goeie kiest), moet je nu uit 2 deuren kiezen (met de kans van 50% dat je de goeie deur kiest). Het lijkt dus alsof de kans groter is geworden dat je de goeie deur kiest, maar het maakt nog steeds geen drol uit welke je kiest. De kans dat je van de overgebleven deuren de goeie kiest verandert relatief gezien namelijk niet!

[zpidermen]

Het antwoord is: wisselen want de kans om dan de auto te winnen is 2/3. Deze vraag is vorig jaar in de wetenschapsquiz gesteld (met rode en witte ballen in plaats van auto's en fietsen).

Dit klopt dus niet. De kans was 1/3 bij 3 deuren, en wordt nu 1/2 bij 2 deuren. Nadat de quizmaster die ene deur heeft geopend, moet je de oorspronkelijke vraagstelling dus gewoon vergeten en je kansen opnieuw berekenen voor de overgebleven 2 deuren. En dan zie je dat het geen drol uitmaakt of je nog van deur wisselt.

[Rogier]

Volgens mij maakt het geen drol uit of je van deur wisselt. Het lijtk wel alsof de kans groter wordt dat je de goeie deur kiest, maar dat is slechts schijnt. Wat gebeurt er namelijk als de quizmaster een van de deuren opent die je niet had gekozen? Dan verandert de vraag! En dus ook je kansen! In plaats van dat je nu moet kiezen tussen 3 deuren (per deur heb je dus een kans van 33% dat je de goeie kiest), moet je nu uit 2 deuren kiezen (met de kans van 50% dat je de goeie deur kiest). Het lijkt dus alsof de kans groter is geworden dat je de goeie deur kiest, maar het maakt nog steeds geen drol uit welke je kiest. De kans dat je van de overgebleven deuren de goeie kiest verandert relatief gezien namelijk niet!

Okee, zin in een spelletje? Jij moet steeds een deur kiezen en ik ben de quizmaster. Jij wisselt niet van deur (het maakt immers toch niet uit), elke keer als je het goed hebt krijg je vijftien euro, en als je het fout hebt hoef je maar tien euro te betalen! Zullen we dit eens, laten we zeggen, een keer of duizend spelen?

Serieus dan, probeer hier eens op te antwoorden:

Is al vaker aan de orde geweest.

Vergelijk het eens met de situatie dat er niet drie, maar honderd deuren zijn. Jij kiest er één, vervolgens opent de quizmaster (die weet waar de prijs zit) er 98, en laat jou dan kiezen tussen jouw oorspronkelijke deur of de ene die over is.  

Vind je het nu ook onwaarschijnlijk dat je (veel) meer kans hebt om te winnen als je wisselt?

[Rogier]

Dit klopt dus niet. De kans was 1/3 bij 3 deuren, en wordt nu 1/2 bij 2 deuren. Nadat de quizmaster die ene deur heeft geopend, moet je de oorspronkelijke vraagstelling dus gewoon vergeten en je kansen opnieuw berekenen voor de overgebleven 2 deuren.

Nee, want die twee overgebleven deuren hebben geen gelijke uitgangssituatie. Die overgebleven situatie is namelijk met voorkennis tot stand gekomen. De kans op winst als je wel wisselt is beslist 2/3, en als je niet wisselt 1/3.

[Rogier]

Nog een andere interpretatie. Wat als de quizmaster geen deuren zou openen, maar je deze keuze zou aanbieden: (nadat je een deur hebt aangewezen) wil je hetgeen er achter die ene deur staat die je hebt gekozen, of wil je alles wat er achter de andere twee deuren staan?

Wat zou je nu kiezen?

[TD]

Zie:

http://www.cut-the-knot.org/hall.shtml

http://www.cut-the-knot.org/peter.shtml

[PeterPan]

De kans neemt uiteraard toe als je van deur veranderd, want de hoeveelheid informatie is toegenomen.

Als je bij je eerste keuze blijft is je kans op succes 1/3, want de kans was 1/3 voor de quizmaster die verkeerde deur opendeed. Doe je met zijn informatie niets, dan blijft de kans op succes natuurlijk 1/3.

Trek je je wat aan van de extra informatie dat heb je een situatie gekregen met 2 deuren. Slechts 1 ervan bevat de auto. Aangezien de kans op succes van de deur die je gekozen had 1/3 is, moet dus de kans op succes van die andere deur 2/3 zijn.

Klopt want kans 1/3 (1e keuze) + 2/3 (andere deur) + 0 (door quizmaster verraden) = 1.

[zpidermen]

Is al vaker aan de orde geweest.  

Vergelijk het eens met de situatie dat er niet drie, maar honderd deuren zijn. Jij kiest er één, vervolgens opent de quizmaster (die weet waar de prijs zit) er 98, en laat jou dan kiezen tussen jouw oorspronkelijke deur of de ene die over is.  

Vind je het nu ook onwaarschijnlijk dat je (veel) meer kans hebt om te winnen als je wisselt?

Het maakt nog steeds niet uit of je wisselt: de quizmaster weet achter welke deur de auto staat, dus hij kiest 98 deuren waar een oude fiest achter staat. Er blijven dan 2 deuren over, eentje met de auto en eentje met een oude fiets. Maakt het dan uit welke van die 2 deuren je kiest? Nee, want elke deur heeft een gelijke kans om de auto te hebben! De kans is voor beide overgebleven deuren gelijk!. En daarom maakt het geen drol uit of je van deur wisselt of dat je bij je oorspronkelijke keuze blijft.

Dit klopt dus niet. De kans was 1/3 bij 3 deuren, en wordt nu 1/2 bij 2 deuren. Nadat de quizmaster die ene deur heeft geopend, moet je de oorspronkelijke vraagstelling dus gewoon vergeten en je kansen opnieuw berekenen voor de overgebleven 2 deuren.

Nee, want die twee overgebleven deuren hebben geen gelijke uitgangssituatie. Die overgebleven situatie is namelijk met voorkennis tot stand gekomen. De kans op winst als je wel wisselt is beslist 2/3, en als je niet wisselt 1/3.

Die 2 deuren hebben dus wel een gelijke uitgangssituatie. Als kandidaat mag je uit 2 deuren kiezen. Je weet als kandidaat dat achter 1 van die deuren een auto staat en achter de andere deur staat een oude fiets. Als je nu 1 deur zou moeten kiezen, welke deur kies je dan? Het maakt niet uit welke deur je kiest, want elke deur heeft een kans van 50% dat daar een auto achter staat. Voorkennis van de quizmaster heeft hier helemaal niks mee te maken; met die voorkennis kan de quizmaster rustig 98 deuren met oude fietsen opendoen; hij zal natuurlijk nooit de deur uitkiezen waar de auto achter staat; dus die voorkennis staat er helemaal buiten en daar heb jij als kandidaat helemaal niks mee te maken.

Nog een andere interpretatie. Wat als de quizmaster geen deuren zou openen, maar je deze keuze zou aanbieden: (nadat je een deur hebt aangewezen) wil je hetgeen er achter die ene deur staat die je hebt gekozen, of wil je alles wat er achter de andere twee deuren staan?  

Wat zou je nu kiezen?

Heel simpel: alles wat achter de 2 deuren staat die ik niet heb gekozen. Elke deur heeft een kans van 1/3 op een auto. Dus als ik 3 dichte deuren zie, en ik weet dat achter 1 van die deuren een auto staat, maakt het dus niet uit welke deur ik kies; elke deur heeft een kans van 1/3 op een auto. MAAR... als de quizmaster mij 2 deuren laat kiezen, dan wordt de kans op een auto natuurlijk verdubbeld van 1/3 naar 2/3. Dus in dat geval is het wel raadzaam om van deur te wisselen.

Overigens, ik ga er bij deze quiz dus wel vanuit dat de quizmaster geen hints geeft: bij Lotto weekend miljonairs wil Robbert ten Brink nog wel eens de kandidaten een handje helpen als ze de 500 of 1000-euro-grens nog niet gepasseerd zijn.

De kans neemt uiteraard toe als je van deur veranderd, want de hoeveelheid informatie is toegenomen.

Inderdaad, ten opzichte van de originele vraag! Maar de originele vraag bestaat niet meer! Er is een nieuwe vraag voor in de plaats gekomen! Op het moment dat die quizmaster 98 deuren opent, doen die deuren helemaal niet meer mee in de vraagstelling... De moet gewoon doen of die deuren nooit bestaan hebben. Het is helemaal niet interessant voor de nieuwe vraagstelling, dat je weet dat die 98 deuren van de oude vraagstelling oude fietsen hadden. De oude vraagstelling luidde: je hebt 100 deuren, achter 1 deur staat een auto, achter de rest staan oude fietsen, kies 1 deur uit. De nieuwe vraagstelling luidt: je hebt 100 deuren, van 98 deuren weet je dat ze fietsen hebben, van 2 deuren is bekend dat de ene deur een auto heeft en de andere deur een fiets. Nou, nieuwe vraagstelling, dus nieuwe kansberekening. Wisselen tussen die 2 onbekende deuren heeft geen enkele zin.

[Rogier]

Vergelijk het eens met de situatie dat er niet drie, maar honderd deuren zijn.  

(...)

Het maakt nog steeds niet uit of je wisselt: de quizmaster weet achter welke deur de auto staat, dus hij kiest 98 deuren waar een oude fiest achter staat. Er blijven dan 2 deuren over, eentje met de auto en eentje met een oude fiets. Maakt het dan uit welke van die 2 deuren je kiest? Nee, want elke deur heeft een gelijke kans om de auto te hebben! De kans is voor beide overgebleven deuren gelijk!. En daarom maakt het geen drol uit of je van deur wisselt of dat je bij je oorspronkelijke keuze blijft.

Als jij deur nr. 43 kiest, en vervolgens doet de quizmaster alle andere deuren behalve nr. 68 open, en je weet dat de quizmaster die 98 deuren opent terwijl hij de goede deur kent, dan hebben die twee deuren natuurlijk een verschillende kans.

Voor iemand die op dat moment de studio binnen komt lopen, en niet weet welke deur jouw eerste keuze was en welke deur door de quizmaster is overgelaten, hebben ze allebei 50%. Maar dat is in deze vraag niet aan de orde, je weet dat de quizmaster die andere overgebleven deur op een speciale manier selecteert.

Serieus, ik vroeg het eerst als grap maar geloof je werkelijk dat het zelfs in de situatie met 100 deuren niet uitmaakt of je wisselt of niet? Denk je dat als er bijvoorbeeld duizend kandidaten meedoen aan dit spelletje, en 500 wisselen er van deur en 500 blijven bij hun eerste keuze, dat er dan in beide groepen ongeveer evenveel met een nieuwe auto huiswaarts zullen keren?

Ik stelde de situatie expres voor met 100 deuren in plaats van 3, omdat dan ook zonder te rekenen intuïtief duidelijk werd dat die andere deur veel meer kans heeft... Dacht ik

Even een andere vraag tussendoor: is volgens jou de kans om de lotto te winnen ook 50%? Want je hebt twee mogelijkheden: of je wint, of je wint niet.

Die 2 deuren hebben dus wel een gelijke uitgangssituatie.

Nee. Één van die twee deuren is lukraak door jou gekozen, dus kans 1/3, de ander is overgelaten door een quizmaster die weet waar de prijs zit, dus kans 00% in het geval dat jij het fout had (wat een kans van 2/3 had).

Als kandidaat mag je uit 2 deuren kiezen. Je weet als kandidaat dat achter 1 van die deuren een auto staat en achter de andere deur staat een oude fiets. Als je nu 1 deur zou moeten kiezen, welke deur kies je dan? Het maakt niet uit welke deur je kiest, want elke deur heeft een kans van 50% dat daar een auto achter staat. Voorkennis van de quizmaster heeft hier helemaal niks mee te maken; met die voorkennis kan de quizmaster rustig 98 deuren met oude fietsen opendoen; hij zal natuurlijk nooit de deur uitkiezen waar de auto achter staat; dus die voorkennis staat er helemaal buiten en daar heb jij als kandidaat helemaal niks mee te maken.

Nog een andere interpretatie. Wat als de quizmaster geen deuren zou openen, maar je deze keuze zou aanbieden: (nadat je een deur hebt aangewezen) wil je hetgeen er achter die ene deur staat die je hebt gekozen, of wil je alles wat er achter de andere twee deuren staan?  

Wat zou je nu kiezen?

Heel simpel: alles wat achter de 2 deuren staat die ik niet heb gekozen. Elke deur heeft een kans van 1/3 op een auto. Dus als ik 3 dichte deuren zie, en ik weet dat achter 1 van die deuren een auto staat, maakt het dus niet uit welke deur ik kies; elke deur heeft een kans van 1/3 op een auto. MAAR... als de quizmaster mij 2 deuren laat kiezen, dan wordt de kans op een auto natuurlijk verdubbeld van 1/3 naar 2/3. Dus in dat geval is het wel raadzaam om van deur te wisselen.

Maar dit is ook precies wat de quizmaster je aanbiedt door één lege deur te openen!

Je weet namelijk dat er achter die andere twee deuren met kans 2/3 ergens een prijs ligt. Je weet óók dat minstens één van die twee deuren leeg is.

Wat is het essentiële verschil tussen:

- de quizmaster die zegt "wil je alles wat achter deze twee deuren ligt?"

of

- de quizmaster die zegt "wil je alles wat achter deze twee deuren ligt? maar denk erom, minstens één deur is leeg"

of

- de quizmaster die zegt "wil je alles wat achter deze twee deuren ligt? maar denk erom, minstens één deur is leeg, kijk maar" en opent één deur

In alledrie de gevallen krijg je met kans 2/3 een prijs door voor de andere twee deuren (of in het laatste voorbeeld, de overgebleven deur van de twee waarvan je toch al wist dat er één leeg was) te kiezen.

Overigens, ik ga er bij deze quiz dus wel vanuit dat de quizmaster geen hints geeft: bij Lotto weekend miljonairs wil Robbert ten Brink nog wel eens de kandidaten een handje helpen als ze de 500 of 1000-euro-grens nog niet gepasseerd zijn.

Uiteraard. Als je in het begin al de goeie deur had gekozen (wat de quizmaster weet) dan opent hij lukraak één van de andere twee deuren, als je in het begin niet de goeie deur had gekozen dan opent hij de enige andere lege deur.

Nou, nieuwe vraagstelling, dus nieuwe kansberekening. Wisselen tussen die 2 onbekende deuren heeft geen enkele zin.

Zullen we dit spelletje echt eens doen dan? Jij blijft steeds bij je eerste deur, en als je het goed hebt krijg je anderhalf keer je inzet. Dat moet een goudmijn worden voor je, want in gemiddeld 50% van de gevallen zul je dan winnen, toch?

[zpidermen]

Als jij deur nr. 43 kiest, en vervolgens doet de quizmaster alle andere deuren behalve nr. 68 open, en je weet dat de quizmaster die 98 deuren opent terwijl hij de goede deur kent, dan hebben die twee deuren natuurlijk een verschillende kans.

Hier maak je de eerste denkfout: De quizmaster weet achter welke deur de auto zit (bijvoorbeeld 43). Maar jij als kandidaat weet dat de auto OF achter deur 43, OF achter deur 68 zit. Gelijke kans dus.

Voor iemand die op dat moment de studio binnen komt lopen, en niet weet welke deur jouw eerste keuze was en welke deur door de quizmaster is overgelaten, hebben ze allebei 50%. Maar dat is in deze vraag niet aan de orde, je weet dat de quizmaster die andere overgebleven deur op een speciale manier selecteert.

Hier maak je de tweede denkfout: wat heb je eraan dat je weet dat de quizmaster de deuren op een spciale manier selecteert? Helemaal niets! Jij bent als kandidaat alleen geinteresseerd in de uitkomsten van die 98 deuren, en niet in de manier waarop die quizmaster die 98 deuren selecteert.

Even een andere vraag tussendoor: is volgens jou de kans om de lotto te winnen ook 50%? Want je hebt twee mogelijkheden: of je wint, of je wint niet.

Denkfout nummer drie: je hebt inderdaad 2 mogelijkheden, maar die zijn in tegenstelling tot de 2-deuren-vraagstelling niet aan elkaar gelijk. Hier moet je rekening houden met het aantal ballen in de lotto draaimolen. De kans om te winnen wordt pas 50% als er in die lotto draaimolen maar 2 ballen zitten en niet de 20(?) ballen die er normaal gesproken inzitten.

Wat is het essentiële verschil tussen:  

- de quizmaster die zegt "wil je alles wat achter deze twee deuren ligt?"  

of  

- de quizmaster die zegt "wil je alles wat achter deze twee deuren ligt? maar denk erom, minstens één deur is leeg"  

of  

- de quizmaster die zegt "wil je alles wat achter deze twee deuren ligt? maar denk erom, minstens één deur is leeg, kijk maar" en opent één deur

Je begrijpt de vraagstelling van de quizmaster niet: je hebt het nu telkens over de vraagstelling waarbij de kandidaat twee deuren mag kiezen. Maar de vraagstelling was juist: kies een van de twee overgebleven deuren.

Ik zou zeggen, lees de vraagstelling van MvM nog maar eens goed door. Volgens mij maak je namelijk nog steeds geen goed onderscheid tussen de oude en de nieuwe vraagstelling.

[Raspoetin]

De grap zit hem in het feit dat de quizmaster de deur met de prijs niet open mag gooien:

Stel dat je niet de goede deur had gekozen: kans hierop is 2/3. De quizmaster kan alleen maar de deur aanwijzen waar geen prijs achter zit. Bij wissel dus altijd prijs.

Als je de goede deur had gekozen, levert wisselen verlies op. Maar omdat de kans dat je de goede deur meteen gekozen zou hebben 1/3 is, is slechts in 1/3 van de gevallen wisselen onverstandig.

Dus: De kans dat je een foute deur hebt is 2/3, bij wissel heb je altijd prijs. Conclusie: Bij wisselen heb je 2/3 kans op prijs, bij blijven 1/3