1 van 3
bewijs geheel getal
Geplaatst: do 02 aug 2012, 23:19
door dirkwb
Bewijs dat onderstaand getal een geheel getal is.
\( \sqrt{14-6 \sqrt{5}} + \sqrt{5} \)
Ik zie niet hoe dat moet, kan iemand me op weg helpen?
Re: bewijs geheel getal
Geplaatst: do 02 aug 2012, 23:31
door tempelier
Via de vorm
\( \sqrt{ (a+b) - 2 \sqrt {ab} } \)
Deze is vrij simpel vereenvoudig baar.
Re: bewijs geheel getal
Geplaatst: vr 03 aug 2012, 09:03
door Safe
dirkwb schreef: ↑do 02 aug 2012, 23:19
Bewijs dat onderstaand getal een geheel getal is.
\( \sqrt{14-6 \sqrt{5}} + \sqrt{5} \)
Ik zie niet hoe dat moet, kan iemand me op weg helpen?
Uit de wortel moet iets komen van de vorm a-sqrt(5), a geheel (waarom), dus ...
Re: bewijs geheel getal
Geplaatst: vr 03 aug 2012, 11:23
door EvilBro
Ik snap niet zo goed waarom je niet gewoon begonnen bent met:
\(\sqrt{14 - 6 \sqrt{5}} + \sqrt{5} = k\)
Wat geschuif:
\(\sqrt{14 - 6 \sqrt{5}} = k - \sqrt{5}\)
en gekwadrateer:
\(14 - 6 \sqrt{5} = (k - \sqrt{5})^2 = k^2 - 2 k \sqrt{5} + 5\)
en dan ben je er al bijna...
Re: bewijs geheel getal
Geplaatst: vr 03 aug 2012, 11:37
door Drieske
EvilBro schreef: ↑vr 03 aug 2012, 11:23
en dan ben je er al bijna...
Zeker? Heb je het verder uitgeteld? Ik kom er zo namelijk niet; ik zit in een cirkelredenering met deze methode. Kun je eventueel verder uitwerken?
Re: bewijs geheel getal
Geplaatst: vr 03 aug 2012, 11:38
door tempelier
tempelier schreef: ↑do 02 aug 2012, 23:31
Via de vorm
\( \sqrt{ (a+b) - 2 \sqrt {ab} } \)
Deze is vrij simpel vereenvoudig baar.
Misschien ter aanvulling daar deze herleiding niet meer zo bekend is:
\( \sqrt{ (a+b) - 2 \sqrt {ab} } = \sqrt{a} - \sqrt{b}\quad a>b\)
Re: bewijs geheel getal
Geplaatst: vr 03 aug 2012, 11:45
door dirkwb
tempelier schreef: ↑vr 03 aug 2012, 11:38
Misschien ter aanvulling daar deze herleiding niet meer zo bekend is:
\( \sqrt{ (a+b) - 2 \sqrt {ab} } = \sqrt{a} - \sqrt{b}\quad a>b\)
Ja, ik heb 'm via deze weg gevonden, maar ik vond het wel bewerkelijk.
Drieske schreef: ↑vr 03 aug 2012, 11:37
Zeker? Heb je het verder uitgeteld? Ik kom er zo namelijk niet; ik zit in een cirkelredenering met deze methode. Kun je eventueel verder uitwerken?
k is een geheel getal dus links en rechts moet het totale aantal sqrt(5) gelijk zijn.
@Safe: dacht je ook aan Evilbro's methode?
Re: bewijs geheel getal
Geplaatst: vr 03 aug 2012, 11:46
door Drieske
dirkwb schreef: ↑vr 03 aug 2012, 11:45
k is een geheel getal dus links en rechts moet het totale aantal sqrt(5) gelijk zijn.
Dan ga jij er reeds van uit dat k een geheel getal is. Dat wil je wel bewijzen uiteraard...
Re: bewijs geheel getal
Geplaatst: vr 03 aug 2012, 11:49
door tempelier
EvilBro schreef: ↑vr 03 aug 2012, 11:23
en dan ben je er al bijna...
Ik houd dan een vierde graads vergelijking over waarvam een der oplossingen inderdaad k=3 is.
Maar ook een oplossing met een wortel er in die groter dan nul is.
Nu is maar de vraag welke oplossing door kwadrateren is ingevoerd?
Re: bewijs geheel getal
Geplaatst: vr 03 aug 2012, 11:49
door dirkwb
@Drieske, hmm, dat klopt, dan kom ik ook op de cirkelredenering via de abc-formule.
Re: bewijs geheel getal
Geplaatst: vr 03 aug 2012, 11:59
door Drieske
tempelier schreef: ↑vr 03 aug 2012, 11:49
Ik houd dan een vierde graads vergelijking over waarvam een der oplossingen inderdaad k=3 is.
Maar ook een oplossing met een wortel er in die groter dan nul is.
Nu is maar de vraag welke oplossing door kwadrateren is ingevoerd?
Ik heb het zelf niet uitgeteld. Maar is die oplossing, bijvoorbeeld, groter dan wortel 5? Dat is een nevenvoorwaarde die je namelijk meteen kunt opleggen. Andere opties zijn ook mogelijk uiteraard
.
Overigens weet ik niet of ik het oplossen van een vierdegraadsveelterm versta onder "je bent er bijna".
Re: bewijs geheel getal
Geplaatst: vr 03 aug 2012, 12:07
door tempelier
dirkwb schreef: ↑vr 03 aug 2012, 11:45
Ja, ik heb 'm via deze weg gevonden, maar ik vond het wel bewerkelijk.
Misschien lijkt dat omdat je met de metode niet zo vertrouwd bent.
\( \sqrt{ 14 - 6 \sqrt 5 } = \sqrt{ 14 - 2 \sqrt 45 } = \sqrt{9} - \sqrt{5}\)
[/color][/color]
Het laatste via:
\( \sqrt{ (a+b) - 2 \sqrt {ab} } = \sqrt{a} - \sqrt{b}\quad a>b \)
[/color]
Re: bewijs geheel getal
Geplaatst: vr 03 aug 2012, 12:10
door EvilBro
Natuurlijk veronderstel ik dat k een geheel getal is.
\(14 - 6 \sqrt{5} = k^2 - 2 k \sqrt{5} + 5\)
\(9 - 2 \cdot 3 \sqrt{5} = k^2 - 2 k \sqrt{5}\)
\(3^2 - 2 \cdot 3 \sqrt{5} = k^2 - 2 k \sqrt{5}\)
Kortom, het is een moeilijke manier om 3 op te schrijven...
Re: bewijs geheel getal
Geplaatst: vr 03 aug 2012, 12:11
door Drieske
tempelier schreef: ↑vr 03 aug 2012, 12:07
..//..
In mijn ogen de meest elegante methode om het te bewijzen
. Mooi gezien!
EvilBro schreef: ↑vr 03 aug 2012, 12:10
Natuurlijk veronderstel ik dat k een geheel getal is.
Waarom is dat zo "natuurlijk"? Men vraagt: bewijs dat deze uitdrukking een geheel getal is. Uitgaan dat het geheel is, is dan wel meer dan de helft overslaan.
Re: bewijs geheel getal
Geplaatst: vr 03 aug 2012, 12:16
door tempelier
Drieske schreef: ↑vr 03 aug 2012, 11:59
Ik heb het zelf niet uitgeteld. Maar is die oplossing, bijvoorbeeld, groter dan wortel 5? Dat is een nevenvoorwaarde die je namelijk meteen kunt opleggen. Andere opties zijn ook mogelijk uiteraard
.
Overigens weet ik niet of ik het oplossen van een vierdegraadsveelterm versta onder "je bent er bijna".
Het wordt met wat manupupalatie:
\(k^4-38k^2+120k-99=0\)
Die heeft de oplossingen:
\( k_{1,2}=3\quad , \quad k_{3,4} = -3\pm 2\sqrt{5} \)
Het probleem is nu te bepalen welke oplossing de goede is en welke zijn ingevoerd.
Moet wel kunnen denk ik maar een echt snelle methode lijkt het me niet.