bewijs geheel getal

[dirkwb]

Bewijs dat onderstaand getal een geheel getal is.

\( \sqrt{14-6 \sqrt{5}} + \sqrt{5} \)

Ik zie niet hoe dat moet, kan iemand me op weg helpen?

[tempelier]

Via de vorm

\( \sqrt{ (a+b) - 2 \sqrt {ab} } \)

Deze is vrij simpel vereenvoudig baar.

[Safe]

Bewijs dat onderstaand getal een geheel getal is.

\( \sqrt{14-6 \sqrt{5}} + \sqrt{5} \)

Ik zie niet hoe dat moet, kan iemand me op weg helpen?

Uit de wortel moet iets komen van de vorm a-sqrt(5), a geheel (waarom), dus ...

[EvilBro]

Ik snap niet zo goed waarom je niet gewoon begonnen bent met:

\(\sqrt{14 - 6 \sqrt{5}} + \sqrt{5} = k\)

Wat geschuif:

\(\sqrt{14 - 6 \sqrt{5}} = k - \sqrt{5}\)

en gekwadrateer:

\(14 - 6 \sqrt{5} = (k - \sqrt{5})^2 = k^2 - 2 k \sqrt{5} + 5\)

en dan ben je er al bijna...

[Drieske]

en dan ben je er al bijna...

Zeker? Heb je het verder uitgeteld? Ik kom er zo namelijk niet; ik zit in een cirkelredenering met deze methode. Kun je eventueel verder uitwerken?

[tempelier]

Via de vorm

\( \sqrt{ (a+b) - 2 \sqrt {ab} } \)

Deze is vrij simpel vereenvoudig baar.

Misschien ter aanvulling daar deze herleiding niet meer zo bekend is:

\( \sqrt{ (a+b) - 2 \sqrt {ab} } = \sqrt{a} - \sqrt{b}\quad a>b\)

[dirkwb]

Misschien ter aanvulling daar deze herleiding niet meer zo bekend is:

\( \sqrt{ (a+b) - 2 \sqrt {ab} } = \sqrt{a} - \sqrt{b}\quad a>b\)

Ja, ik heb 'm via deze weg gevonden, maar ik vond het wel bewerkelijk.

Zeker? Heb je het verder uitgeteld? Ik kom er zo namelijk niet; ik zit in een cirkelredenering met deze methode. Kun je eventueel verder uitwerken?

k is een geheel getal dus links en rechts moet het totale aantal sqrt(5) gelijk zijn.

@Safe: dacht je ook aan Evilbro's methode?

[Drieske]

k is een geheel getal dus links en rechts moet het totale aantal sqrt(5) gelijk zijn.

Dan ga jij er reeds van uit dat k een geheel getal is. Dat wil je wel bewijzen uiteraard...

[tempelier]

en dan ben je er al bijna...

Ik houd dan een vierde graads vergelijking over waarvam een der oplossingen inderdaad k=3 is.

Maar ook een oplossing met een wortel er in die groter dan nul is.

Nu is maar de vraag welke oplossing door kwadrateren is ingevoerd?

[dirkwb]

@Drieske, hmm, dat klopt, dan kom ik ook op de cirkelredenering via de abc-formule.

[Drieske]

Ik houd dan een vierde graads vergelijking over waarvam een der oplossingen inderdaad k=3 is.

Maar ook een oplossing met een wortel er in die groter dan nul is.

Nu is maar de vraag welke oplossing door kwadrateren is ingevoerd?

Ik heb het zelf niet uitgeteld. Maar is die oplossing, bijvoorbeeld, groter dan wortel 5? Dat is een nevenvoorwaarde die je namelijk meteen kunt opleggen. Andere opties zijn ook mogelijk uiteraard .

Overigens weet ik niet of ik het oplossen van een vierdegraadsveelterm versta onder "je bent er bijna".

[tempelier]

Ja, ik heb 'm via deze weg gevonden, maar ik vond het wel bewerkelijk.

Misschien lijkt dat omdat je met de metode niet zo vertrouwd bent.

\( \sqrt{ 14 - 6 \sqrt 5 } = \sqrt{ 14 - 2 \sqrt 45 } = \sqrt{9} - \sqrt{5}\)

[/color][/color]

Het laatste via:

\( \sqrt{ (a+b) - 2 \sqrt {ab} } = \sqrt{a} - \sqrt{b}\quad a>b \)

[/color]

[EvilBro]

Natuurlijk veronderstel ik dat k een geheel getal is.

\(14 - 6 \sqrt{5} = k^2 - 2 k \sqrt{5} + 5\)

\(9 - 2 \cdot 3 \sqrt{5} = k^2 - 2 k \sqrt{5}\)

\(3^2 - 2 \cdot 3 \sqrt{5} = k^2 - 2 k \sqrt{5}\)

Kortom, het is een moeilijke manier om 3 op te schrijven...

[Drieske]

..//..

In mijn ogen de meest elegante methode om het te bewijzen . Mooi gezien!

Natuurlijk veronderstel ik dat k een geheel getal is.

Waarom is dat zo "natuurlijk"? Men vraagt: bewijs dat deze uitdrukking een geheel getal is. Uitgaan dat het geheel is, is dan wel meer dan de helft overslaan.

[tempelier]

Ik heb het zelf niet uitgeteld. Maar is die oplossing, bijvoorbeeld, groter dan wortel 5? Dat is een nevenvoorwaarde die je namelijk meteen kunt opleggen. Andere opties zijn ook mogelijk uiteraard .

Overigens weet ik niet of ik het oplossen van een vierdegraadsveelterm versta onder "je bent er bijna".

Het wordt met wat manupupalatie:

\(k^4-38k^2+120k-99=0\)

Die heeft de oplossingen:

\( k_{1,2}=3\quad , \quad k_{3,4} = -3\pm 2\sqrt{5} \)

Het probleem is nu te bepalen welke oplossing de goede is en welke zijn ingevoerd.

Moet wel kunnen denk ik maar een echt snelle methode lijkt het me niet.