Differentiaalvergelijking van 2e orde met niet constante coëfficienten

[Antares]

Opgave: L[y]=x*y''+2*y+x*y=0 en je weet dat een oplossing y1=cos(x)/x is.

In de les hebben we door logisch ne te denken beredeneerd dat de 2e oplossing sin(x)/x zal zijn.

De methode die de prof aangaf was reductie van de orde. nu als ik deze toepas, raak ik niet tot dat resultaat.

Dus y2=v*y1 (met v de gezochte functie)

L[y2]=0

=v*L[y1]+v'[2(-sin(x)/x-cos(x)/x²)+2/x*cos(x)/x]+v''*cos(x)/x=0

L[y1]=0 omdat dit de oplossing is van de homogene diff vgl, dus krijgen we na de uitwerking:

v''*cos(x)=2*sin(x)*v'

v''=2*tan(x)*v'

hier zit ik dus vast omdat ik niet meer weet hoe ik verder moet rekenen. (tenzij er natuurlijk een fout in mijn berekening/beredenering zit)

Een bijkomende vraag was (waarschijnlijk omdat deze stap eerst moet worden gedaan om de oplossing te bekomen) of deze DVgl kon worden herschreven naar een DVgl met constante coëfficienten. Naar mijn weten is dit niet echt mogelijk omdat deze niet in de vorm van de Euler DVgl staat (tenzij ik de methode gewoonweg niet ken).

Bij voorbaar dank,

Alain

[Jekke]

meest voor de hand liggende methode is de methode van de variatie van de parameters

een alternatief is de methode met de functie van green