isomorfisme

[arnevq]

in mijn cursus staat er " een n-dimensionale vectorruimte wordt isomorf genoemd met Fⁿ". Isomorf betekend van gelijk gedaante, dus ik dacht dat het te maken had met dat een n- dimensionale vectorruimte altijd evenveel vectoren bevat, en dus evenveel scalairen. Klopt dit? Ik kan me er ook niet direct iets bij voorstellen.

[Jaimy11]

Een isomorfe vectorruimte voldoet aan 2 kenmerken:

- Het is een lineaire afbeelding

- Het is een bijectie

Dit 2e puntje beantwoord je vraag dan

[arnevq]

Een isomorfe vectorruimte voldoet aan 2 kenmerken:

- Het is een lineaire afbeelding

- Het is een bijectie

Dit 2e puntje beantwoord je vraag dan

bedankt, maar bijectie is een term die wij niet gebruikt hebben, kan je het uitleggen zonder die term te gebruiken?

[Siron]

Het is zoals Jaimy zegt. Als een vectorruimte

\(V\)

isomorf is met een vectorruimte

\(W\)

wil dat zeggen dat een bijectieve lineaire afbeelding

\(f: V \to W \)

kan gemaakt worden. Een afbeelding is een bijectie als het een injectie en een surjectie is. Ben je bekend met deze begrippen? Isomorfisme is iets krachtig, twee isomorfe vectorruimten zijn quasi gelijk, hiermee bedoel ik dat als de ene vectorruimte aan een eigenschap voldoet dan de andere ook.

[Jaimy11]

Een bijectie is hetzelfde als er woldt voldaan aan surjectiviteit en injectiviteit.

Voor de afbeelding

\(f: X \to Y\)

Injectie:

\(\forall x,y: f(x)=f(y)\)

zodat

\(x=y\)

Surjectie:

\(\forall y \in Y \exists x \in X\)

zodat

\(f(x)=y\)

Verder, is een bijectie equivalent met bewijzen dat er een inverse afbeelding bestaat. Dit lijkt me dan de waarschijnlijke oplosmethode voor jou als je bovenstaande niet kent.

Dus

\(f(g)=g(f)=Id\)

[arnevq]

bedankt, dat laatste is inderdaad iets dat ook vermeld is in de cursus, denk dat ik het nu wel een beetje begrijp

[Safe]

bedankt, maar bijectie is een term die wij niet gebruikt hebben, kan je het uitleggen zonder die term te gebruiken?

Welke (belangrijke) termen zie jij dan in je cursus staan?

[arnevq]

Welke (belangrijke) termen zie jij dan in je cursus staan?

Iedere basis van een vectorruimte bevat evenveel vectoren. Een n-dimensionale vectorruimte wordt daarom isomorf genoemd met F^{n .} Dit is wat er staat, verder geen vermelding over bijectie.

[Safe]

En het begrip isomorfie wordt nergens (eerder) genoemd?

[arnevq]

Nee, ik heb al talloze keren teruggebladerd en doorgebladerd maar vind geen verdere uitleg, daarom dat ik niet echt begreep vanwaar dat plots kwam. Blijkt nu dat dat een examenvraag is geweest een paar jaar terug..

[Jaimy11]

Wellicht is het stof van voorgaande jaar, maar deze keer niet inbegrepen.

Dat gebeurt vaker dat de stof wordt veranderd.

[Drieske]

Je kunt het ook opvatten als gewoon een nevenopmerking. Het is uiteindelijk een beetje in de trant van "we noemen zo'n ruimtes isomorf, wat dat exact ook moge betekenen". Zo heb je de terminologie aangedragen zonder meer.

[arnevq]

De cursus is inderdaad veranderd de voorbije jaren, en inderdaad kzal er me niet teveel zorgen om maken, bedankt voor jullie hulp

[Safe]

De cursus is inderdaad veranderd de voorbije jaren, en inderdaad kzal er me niet teveel zorgen om maken, bedankt voor jullie hulp

Wel melden aan 'bevoegde' instanties, want dit is gewoon (didactisch) fout.