Opeenvolgende/gelijke machten

[Dominus Temporis]

Hoi allemaal

Is er een term voor (een van de) 2 getallen, waarvan getal A grondtal x en exponent y heeft, en B grondtal y en exponent x, gelijk zijn?

\(x^y=y^x\)

(vb.

\(2^4=4^2\)

)

Of dat de machten opeenvolgend zijn?

\(x^y=y^x-1\)

(vb.

\(2^3=3^2-1\)

)

Bedankt!

(Als er nog zo voorbeelden zijn, mag je ze best zeggen )

-S.

als je 't ver gaat zoeken heb je ook

\(x^y=y^{x-y}\)

(vb.

\(8^2=2^{8-2}\)

en

\(9^3=3^{9-3}\)

)

[Beroemdheid]

Ik weet in ieder geval wel dat

\(x^y=y^x\)

alleen geldt voor 2 en 4. Het bewijs daarvoor heb ik zo even niet, maar dat is het enige koppel waarvoor het geldt.

[Dominus Temporis]

wat jammer

[mathfreak]

Ik weet in ieder geval wel dat

\(x^y=y^x\)

alleen geldt voor 2 en 4. Het bewijs daarvoor heb ik zo even niet

Bedenk eens dat 4 = 2∙2, dus 2⁴ = 2^2∙2 = (2²)² = 4².

[Dominus Temporis]

Bedenk eens dat 4 = 2∙2, dus 2⁴ = 2^2∙2 = (2²)² = 4².

ja, leuk gevonden zou ik zo zeggen; maar wie zou er op dit in vredesnaam komen? (nu ja, de eerste dan)

[mathfreak]

ja, leuk gevonden zou ik zo zeggen; maar wie zou er op dit in vredesnaam komen? (nu ja, de eerste dan)

Ga na dat dit bewijs berust op de eigenschap dat (a^m)ⁿ = a^m∙n. Meer zit er niet achter.

[Dominus Temporis]

ja, dat begrijp ik...

[Rogier]

Er zijn oneindig veel van dat soort paren x,y zodat

\(x^y=y^x\)

, alleen 2 en 4 is het enige paar gehele getallen met deze eigenschap.

Zie ook dit oude topic over hetzelfde onderwerp (helaas zijn sommige posts indertijd wat misvormd geraakt door conversies bij updates en verandering van forumsoftware, waardoor er hier en daar wat haakjes en dingen abusievelijk zijn vervangen door smileys..)

Als je de grafiek tekent van

\(f_y(x)=x^y-y^x\)

(waarbij je y in dit geval even als constante interpreteert) zie je zo al dat voor de meeste waarden van y, deze functie twee nulpunten heeft: (uiteraard eentje bij x=y, maar ook nog voor een andere x)

[graph=0,4,-3,3]'pow(x,3)-pow(3,x)','pow(x,5)-pow(5,x)','pow(x,6)-pow(6,x)'[/graph]

[tempelier]

Ik weet in ieder geval wel dat

\(x^y=y^x\)

alleen geldt voor 2 en 4. Het bewijs daarvoor heb ik zo even niet, maar dat is het enige koppel waarvoor het geldt.

x=y>0

Martin Gardner heeft het eens behandeld in Scientific American, (Mathimatical Games) als ik me goed herinner.