sciencetalk

Hallo

Meteen terzake:

Als je een laserlichtje hebt, schijn je ermee loodrecht op een plat oppervlak (tafel ofzo), en houd je die laser niet zo ver van die tafel.

Als je die laser een graad draait, verplaatst het laserlichtje zich niet ver..

Maar hoe meer je de laser draait (hoe horizontaler hij dus komt te liggen, ervanuitgaanse dat de laserpointer de vorm heeft van een dikke balpen), hoe sneller en hoe verder het laserlichtje zich per gedraaide graad zal verplaatsen...

Ik hoop dat jullie zich dit kunnen voorstellen?

Ik zal later een tekening proberen te maken.

Ik heb hierover een aantal (lastige) vragen. Stel dat de laserpointer aan een constante hoeksnelheid rond een enkel punt beweegt.

1. Beweegt het laserpuntje zich aan een constante versnelling
   \(a[/tec] voort?
   
   [*]Indien ja, hoe kan je die berekenen? Is hier een algemene formule of - nog beter, een algemene constante voor?
   
   [*]Indien neen, hoe kan de versnelling (of liever, de snelheid) van het puntje in functie van andere grootheden (afstand, versnelling, tijd, hoeksnelheid,...) geschreven worden?
   [/list]
   
   Niet zo voordehandliggend, maar wel eens iets om over na te denken, denk ik zo...
   
   Alvast bedankt!
   
   -D.T.\)

Je kan met (afstand tussen de laserpen en de tafel) en ( tan van de hoek) de afstand tot de stip bepalen.

Daarna kan je de formule voor deze afstand differentieren/integreren om snelheden en versnellingen te bepalen.

Geen idee hoe; heb het differentiëren nog niet behandeld op school

Mocht je het je niet goed kunnen inbeelden, hier een afbeelding.

Ik wil dus weten of er een constante versnelling is, dan wel een manier om die versnelling te berekenen (met als doel, de snelheid van de laser in functie van de hoek van de laser te kunnen schrijven)

De berekening hiervan is hetzelfde als die van een slagschaduw:

H is de hoogte boven de horizontaal, is de zonnehoek (90 graden is loodrecht naar beneden) en L is de horizontale lengte van de slagschaduw.
Dat er geen sprake kan zijn van een constante versnelling is eenvoudig in te zien als hoek nul graden nadert, L gaat dan naar oneindig wat een oneindige 'versnelling' zou inhouden.

Het probleem is dat ik niet meteen over het algemeen kan zeggen dat de versnelling van het puntje is, omdat dit volgens mij enkel te berekenen valt in 1 punt (de ogenblikkelijke snelheid waarmee het puntje zich verplaatst als het zich op meter van het 'loodpunt' uit de laser op het grondvlak bevindt).

Dit valt als volgt te doen:

Noem in jouw tekening de draaihoek van de laser .

Stel, zoals jij zei, .

Gevraagd is dus met welke snelheid , de afstand tussen twee punten op het oppervlak waarop de laser schijnt, toeneemt, voor .

De gegeven snelheid is dus , terwijl de gevraagde snelheid is.

Om de gevraagde snelheid te bepalen, zoeken we het verband tussen de grootheden waarvan de gegeven en gevraagde snelheid de afgeleide zijn; in dit geval zoeken we het verband tussen en .

Omdat je in een rechthoekige driehoek werkt, geldt:
met de afstand tussen de laser en het punt waarop het laserpuntje terechtkomt.

Omdat je hier met 3 veranderlijken zit - en je wilt er maar 2 hebben - wil je een van de veranderlijken in functie zetten van de ander; omdat je de snelheid wil weten waarmee toeneemt, drukken we uit in , om dit vervolgens in bovenstaande formule te gebruiken.

Noem de afstand tussen de pointer en het 'loodpunt' uit de pointer op het grondvlak.

Omdat je nu een rechthoekige driehoek hebt, geldt:
.

Dit inbrengen in de formule voor geeft:
. (h is geen veranderlijke: de afstand tussen de pointer en het grondvlak blijft immers gelijk)

Nu willen we deze vergelijking uitdrukken in en afleidan naar de tijd, :
En als je er rekening meet houdt dat , dan krijg je:
Met (Noot: hoewel ik vrij zeker van m'n stuk ben, is dit toch een beetje 'te mooi om waar te zijn'? Het toch een beetje 'te mooi' uit, niet? Graag het advies van een zeer wiskundig aangelegd iemand)

Als het toch zou kloppen, dan heb je nu -hoop ik- een antwoord op je vraag; nu kun je de ogenblikkelijke snelheid van het puntje dat zich voortbeweegt berekenen op het moment dat het puntje zich op afstand bevindt van het 'loodpunt' uit de pointer op het loodvlak;

(Als je de tan van de hoek gebruikt, zoals CoenCo zegt, is het wel minder werk )

Het lijkt me een hele uitwerking, maar volgens mij kan je het redelijk eenvoudig aanpakken: het is een kwestie van bewegingsvergelijkingen opstellen.

Als h de afstand boven de tafel is:
dan wordt de snelheid van dat punt op de tafel gegeven door:
Hierbij is
de rotatiesnelheid van de laser.

In physics I trust schreef: ↑za 15 jun 2013, 00:14
Het lijkt me een hele uitwerking, maar volgens mij kan je het redelijk eenvoudig aanpakken: het is een kwestie van bewegingsvergelijkingen opstellen.

Als h de afstand boven de tafel is:

\(x(t)=\frac{h}{tan \alpha}\)

dan wordt de snelheid van dat punt op de tafel gegeven door:

\(\frac{dx(\alpha)}{dt}=\frac{dx(\alpha)}{d \alpha} \frac{d\alpha}{dt}=\frac{-h}{sin^2(\alpha)} \dot{\alpha}\)

Hierbij is

\(\dot{\alpha}\)

de rotatiesnelheid van de laser.

Dat is inderdaad veel korter, maar dan moet je weer rekening gaan houden met je hoeksnelheid..?

Ja, maar die zal toch constant zijn? Dus hoe wil je daar rekening mee houden?

Ja, dan is er inderdaad in feite geen probleem.

Voor de aardigheid ook even de versnelling afgeleid:

In physics I trust schreef: ↑za 15 jun 2013, 00:30
Voor de aardigheid ook even de versnelling afgeleid:

\(\frac{1}{sin^2 \alpha} \cdot \ddot{\alpha}+\dot{\alpha}^2 (-2)\frac{cot(\alpha)}{sin^2(\alpha)}\)

Da's dan wel een beetje meer ik zal proberen het door mij (waarschijnlijk verkeerde) resultaat ook nog eens af te leiden;
Dus beweegt het stipje voort met een veel te mooi uitgekomen versnelling van .

Als je deze functies even plot, dan zie dat er effectief een gebied is voor de hoek waarbinnen de snelheid toeneemt

Wat jij in je vorige post deed: afleiden naar x. Dat kan, maar is verwarrend aangezien de hoogte constant blijft boven de tafel en dus is de variatie van x te wijten aan een variatie van alpha. Eenvoudiger is dan ook de x te herschrijven als functie van alpha, zoals ik en Michel deden.

Opmerking: als je dit echt leuk vindt: je kan de vergelijking opstellen voor als het punt waar de laser zich bevindt, een baan aflegt op een loodrechte op het tafelvlak bijvoorbeeld.

In physics I trust schreef: ↑za 15 jun 2013, 00:40
Als je deze functies even plot, dan zie dat er effectief een gebied is voor de hoek waarbinnen de snelheid toeneemt

Wat jij in je vorige post deed: afleiden naar x. Dat kan, maar is verwarrend aangezien de hoogte constant blijft boven de tafel en dus is de variatie van x te wijten aan een variatie van alpha. Eenvoudiger is dan ook de x te herschrijven als functie van alpha, zoals ik en Michel deden.

Opmerking: als je dit echt leuk vindt: je kan de vergelijking opstellen voor als het punt waar de laser zich bevindt, een baan aflegt op een loodrechte op het tafelvlak bijvoorbeeld.

Dus mijn ellenlange bewerkingen & uitkomsten zijn toch juist?

Toevoeging aan die opmerking: dus bv. , zodat (voor

Ik ben het niet eens met jouw afleidingen in de laatste post(s). Kijk je eenheden na: een versnelling dient m/s² als eenheid te hebben. Dat is niet het geval in het rechterlid.

Probeer eens mijn resultaten zelf af te leiden, dit is zoals het gebruikelijk wordt gedaan in de mechanica. Je drukt alles meteen ook uit in de echte variabele van het systeem: de rotatiehoek.

Als je die formules hebt teruggevonden, kan je ze aan een functieonderzoek onderwerpen (in de logische range van waardes van hoek alpha). Stijgen en dalen, positief en negatief zijn moeten in overeenstemming zijn met je waarneming over de snelheid van het punt van de laser. Kijk wat er gebeurt voor 'bijzondere' waarden van de hoek (punt op oneindig en dergelijke).